La Ecuación De Schrödinger

La ecuación de Schrödinger
Introducción.-

Al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz presentaba una dualidad onda corpúsculo, es decir, la luz se podía manifestar (según las circunstancias) como partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico), o como onda electromagnética en la interferencia luminosa. En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso generalizar esta dualidad a todas laspartículas conocidas. Propuso la hipótesis, paradójica en su momento, de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo cual se comprobó experimentalmente en1927 cuando se observó la difracción de electrones. Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una longitud de onda λ:

Lacomprobación experimental hecha por Clinton Davisson y Lester Germer mostró que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la difracción según la fórmula de Bragg se correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie.
Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una ecuación para la onda asociada de De Broglie que para escalas macroscópicas se redujera ala ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:

El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de correspondencia, fue inmediato por la evaluación de los niveles cuantificados de energía del electrón en el átomo de hidrógeno, pues ello permitía explicar el espectro de emisión del hidrógeno: 

El esquema conceptual utilizadopor Schrödinger para derivar su ecuación reposa sobre una analogía formal entre la óptica y la mecánica:

* En la óptica ondulatoria, la ecuación de propagación en un medio transparente de índice real n variando lentamente a la escala de la longitud de onda conduce —mientras se busca una solución monocromática donde la amplitud varía muy lentamente ante la fase— a una ecuación aproximadadenominada eikonal. Es la aproximación de la óptica geométrica, a la cual está asociada el principio variacional de Fermat.
El principio de Fermat, en óptica es un principio de tipo extremal y que establece:
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.
Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo queexiste una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que:
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.
Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos O1 y O2por medio de una funcional llamada camino óptico definidacomo  la trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales. En esta forma, el principio de Fermat recuerda al principio de Hamilton o a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

* En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica,existe una ecuación de Hamilton-Jacobi (que en última instancia es equivalente a las leyes de Newton). Para una partícula masiva no relativista sometida a una fuerza que deriva de una energía potencial, la energía mecánica total es constante y la ecuación de Hamilton-Jacobi para la ”función característica de Hamilton” se parece formalmente a la ecuación de la eikonal
Este paralelismo lo habíanotado ya Hamilton en 1834, pero el no tenía una razón para dudar de la validez de la mecánica clásica. Después de la hipótesis de de Broglie de 1923, Schrödinger dice:1 la ecuación de la eikonal siendo una aproximación a la ecuación de onda de la óptica ondulatoria, buscamos la ecuación de onda de la "mecánica ondulatoria" (a realizar) donde la aproximación será la ecuación de Hamilton-Jacobi. Lo...