La Ecuaci N De Bernoulli

La ecuación de Bernoulli, que es una relación fundamental en la mecánica de los fluidos, no es un principio nuevo sino que derivable de las leyes básicas de la mecánica newtoniana. Hallamos conveniente derivarla del teorema trabajo – energía, ya que esencialmente un postulado del teorema trabajo – energía para el flujo de los fluidos.
Consideremos el flujo estacionario, incomprensible, noviscoso y no rotatorio de un fluido a lo largo de la tubería o tubo de flujo de la figura 7. La porción de tubería que se muestra en la figura tiene una sección transversal A1 uniforme a la izquierda. Allí es horizontal con una elevación y1, sobre cierto nivel de referencia. Gradualmente se ensancha y eleva, y a la derecha tiene una sección transversal A2 uniforme. Allí es horizontal en una elevacióny2.
Concentrémonos en la posición de fluido representada por los sombreados suave e intenso y llamemos a este fluido “el sistema”. Consideremos luego el movimiento del sistema desde la posición mostrada en la figura 7b. En todos los puntos de la parte angosta de la tubería la presión es p1 y la velocidad v1 ; en todos los puntos de la porción ancha y la presión es p2 y la velocidad v2.
El teorematrabajo energía (véase la ec. 19 del capítulo) establece: el trabajo efectuado por la fuerza resultante que actúa sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema. En la figura 7 las fuerzas que efectúan un trabajo sobre el sistema, suponiendo que podamos despreciar a las fuerzas viscosas, son las fuerzas de la presión P1 A1 y p2 A2 que actúan sobre los extremo izquierda yderecha des sistema, respectivamente, y la fuerza de la gravedad. Al circular el fluido por la tubería el efecto neto, como lo muestra la comparación de las figuras 7a y 7b, es elevar al fluido representado por el área de sombreado intenso de la figura 7a a la posición mostrada en la figura 7b. La cantidad de fluido representada por el sombreado suave no cambia a causa del flujo.
Podemos hallar eltrabajo W efectuado sobre el sistema por la fuerza resultante como sigue:
1. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de la presión p1 A1 es p1 A1
2. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de la presión p2 A2 es – p2 A2 Notese que es negativo porque la fuerza actua en dirección opuesta al desplazamiento horizontal.
3. El trabajo efectuado sobre el sistema por la gravedadesta asociado con la elevacion del elemento de fluido en sombreado intenso desde la altura y1 hasta la altura y2 y es donde es la masa del fluido en cualquiera de las áreas con sobreado intenso. Esta contribución es también negativa a causa de que la fuerza gravitatoria actua en dirección opuesta al desplazamiento vertical.
El trabajo neto W efectuado sobre el sistema por todas las fuerzas sehalla al sumar estos tres términos, es decir,
Ahora bien es el volumen del elemento de fluido en sombreado intenso, el cual podemos escribir como en donde es la densidad (constante) del fluido. Recordemos que los dos elementos de fluido tienen una misma masa, de modo que al disponer que hemos supuesto que el fluido es incomprensible. Con esta hipótesis tenemos:


En cambio la energía cineticadel elemento del fluido es


Partiendo del teorema del trabajo – energía, y entonces tenemos


Lo que después de cancelar al factor común de , puede reacomodarse para leerse como lo siguiente:


Puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a dos ubicaciones cualesquiera a lo largo de la tubería, podemos suprimir los subíndices y escribir

La ecuación 9 recibe el nombre de ecuación de Bernoulli parael flujo estacionario, incomprensible, no viscoso y no rotatorio. Fue presentada por primera vez por Daniel Bernoulli en su Hydrodynamica en 1738.
La ecuación de Bernoulli es estrictamente aplicable únicamente al flujo estacionario, siendo evaluadas las cantidades aplicadas a los largo de la línea de corriente. En nuestra figura, la línea de corriente esta usada a lo largo del eje de la...