La Educación Prohibida

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Asíntota

Curva: en rojo.
Asíntota: línea punteada en azul.
En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a larecta; o que ambas presentan un comportamiento asintótico.

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[editar]Historia y significado
La palabra asíntota se confunde coloquialmente con recta asintótica. Deriva del gr: ἀσύμπτωτος —asýmptōtos— “aquello que no cae”; en donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello que «cae» o «cae junto (a algo)». Sesuele agregar a la definición de asíntota a una curva, el que «no se encuentran nunca».1Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.2
En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entrefunciones o partes de funciones: segmentos de recta, hojas de hipérbola o de parábola, etc. Es en este sentido que se habla de «recta asintótica» como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.
Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculoinfinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan (netamente con el concepto de límite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.
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[editar]Gráfica de asíntotas
Véase también: Gráfica de una función.
Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican sucomportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerososejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:
* Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
* Asíntotashorizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
* Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
Nota: cte=constante.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Comportamiento asintótico entre una curva y una recta.-------------------------------------------------
[editar]Determinación analítica de asíntotas
En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la división por cero o las formas indeterminadas), aportan información valiosa sobre su gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como «soluciones»(o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito (o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asintótico.
[editar]Cálculo de asíntotas por medio de límites
Véase también: Límite matemático.
* Asíntota verticalSe...