La Elipse

LA ELIPSE
Es un lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que las sumas de las distancias de cada uno de estos puntos a dos puntos fijos denominados focos es constante.


Elementos de la elipse:
Puntos F1 y F2: focos de la elipse.
Puntos V1 y V2: vértices de la elipse.
Punto S: centro de la elipse.
Recta que pasa por los puntos V1 y V2: Eje focal.
Recta que pasa por lospuntos A1 y A2: Eje normal.
Segmento CC1 y BB1: Lado recto



PROPIEDADES DE LA ELIPSE:


SF1 y SF2 se les denomina “distancias focales”, generalmente se les representa por la letra “c”. Entonces:
F1F2= 2C SF1=SF2=C


Al segmento V1V2 se le denomina “eje mayor” y generalmente se lo representa por “2a”. Entonces:

V1V2=2a SV1=SV2=a


Al segmento AA1 se le denomina “ejemenor” y generalmente se lo representa por “2b”. Entonces:

AA1=2b SA=SA1=b


La longitud de cada uno de sus lados rectos (BB1 Y CC1) es igual a “2b2/a”.

BB1=CC1=2b2/a

Por definición si P es un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:

|F1P|+|F2P|= 2a
Esto significa que si elegimos un punto de la elipse y calculamos la distancia de este punto a los focos, la suma de estasdistancias es igual a la distancia entre los vértices.



Sabemos que “a” es la longitud del semieje mayor, “b” la longitud del semieje menor y “c” es la distancia del centro a cualquiera de los focos, se cumple que:

a2 + b2 = c2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE:

Ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje “x” y su centro es (h, k).

(x-h)^2/a^2 +(y-k)^2/b^2 =1

Como elcentro es S (h, k), entonces:
E (h- c; k) y F (h+ c; k)
A (h-a; k) y B (h+ a; k)
Observación 1:
Un caso particular ocurre cuando el eje focal coincide con el eje “x” y su centro es (0; 0)
En este caso la ecuación es:

x^2/a^2 +y^2/b^2 =1



COORDENADAS DE LOS FOCOS: E (-c; 0) y F (c; 0)
COORDENADAS DE LOS VÉRTICES: A (-a; 0) y B (a; 0)


La ecuación de la elipse cuyo eje focal esparalelo al eje “y” y su centro es (h; k)

(x-h)^2/b^2 +(y-k)^2/a^2 =1


Como el centro es S (h, k), entonces:
F2 (h; k- c) y F1 (h; k+ c)
V1 (h; k- a) y V2 (h; k+ a)
Observación 2
Un caso particular ocurre cuando el eje focal coincide con el eje “y” y el centro (0; 0). En este caso la ecuación de la elipse es:

x^2/b^2 +y^2/a^2 =1

COORDENADAS DE LOS FOCOS: G (0; c) y F (0; - c)COORDENADAS DE LOS VÉRTICES: C (0; a) y B (0; - a)

Excentricidad de la elipse.
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
e=c/a c ≤ a 0 ≤ e ≤ 1

OBSERVACIONES GENERALES:
Conociendo la ecuación de una elipse se puede determinar por simple inspección, si su eje focal coincide o es paralelo a uno de los ejes coordenados. Porejemplo.

x^2/16+y^2/9=1


(x-2)^2/49+(y+4)^2/4=1

x^2/16+y^2/25=1

((x-3)² )/4+((y+5)² )/25=1



Es frecuente expresar la ecuación de la elipse en forma desarrollada; por ejemplo la ecuación de una elipse es:

((x-3)² )/4+((y+1)² )/9=1
Efectuando la operación se obtiene:
9(x+3) ² + 4 (y-1) ² = 36  9(x²+6x+9) + 4 (y²-2y+1)= 36

De aquí, obtenemos la ecuación de laelipse en forma desarrollada:
9x²+4y²+54x+8y+49=0

TRANSFORMACIÓN A LA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE

Ax²+ Cy²+ Dx+ Ey + F=0  2) ((x-h)² )/a²+((y-k)² )/b²=1
En dónde;
A=b²
C=a²
D=-2b²h
E=-2a²k
F=b²h²+a²k²-a²b²
Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma 1) y reduzcámosla a la forma ordinaria 2). Completando cuadrados obtenemos:
3)((x+D/2A))/c+((Y+E/2C))/a=(CD²+AE²-1ACF)/4A²C²




SEA M=(CD²+AE²-4ACF)/4A²C². Si M≠0, la ecuacion 3) puede escribirse de la forma:

〖(x+D/2D)〗^2/MC+〖(y+E/2C)〗^2/MA=1

Que es la ecuación ordinaria de la elipse.
Teorema: Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación es:

Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0

Representa una elipse de ejes paralelos a los ordenados, o bien un punto, o no...