La Elipse

MATEMÁTICA BÁSICA

Trabajo monográfico

Tema:
La Elipse

Integrantes:

RAQUI PAREDES, Rosanelly Teresa
ANDIA PERALTA, Giannela Sandery

Carrera:

Ing. Industrial

Profesor:

Aldo Vega

Fecha de Entrega: 15 de Noviembre

2012 – II
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INTRODUCCION:
En el siguiente trabajo, presentaremos los antecedentes, fundamentos,aplicaciones y proyecciones, sobre la elipse, así difundir el estudio y análisis. Poe ello, trabajamos los mas especifico posible para una comprensión factible para todos los lectores en general. Como lo presentaremos a continuación.
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ANTECEDENTES
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre seatribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva sunombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.
FUNDAMENTOS
CONCEPTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE
* Focos: Son los puntos fijos F y F'.
* Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
* Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
* Centro: Es el puntode intersección de los ejes.
* Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
* Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
* Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
* Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
*Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
* Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
* Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

RELACIÓN ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES

EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
La excentricidad de la elipse es igualal cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.



ECUACIONES DE LA ELIPSE

Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamosa:

Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de losfocos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar seobtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación, hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de...