LA ELIPSE

LA ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los puntos.
Al igual que la parábola la elipse tiene elementos que la caracterizan y la diferencian de las otras cónicas.
1) Dos puntos fijos llamados focos (F Y F´)
2) Elcentro de la elipse (C) que es el punto medio del segmento: FF´= 2c.
3) El segmento de la recta que pasa por los focos hasta los puntos V y V´se le llama eje mayor o eje focal de la elipse: VV´= 2a
4) A los puntos V y V, se les conoce como vértices del eje mayor.
5) El segmento de la recta BB´= 2b que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular al eje mayor, se le llama eje menor o ejenormal.
6) A los puntos B y B´se les conoce como vértices del eje menor.
7) Los segmentos de la recta que unen a dos puntos cualesquiera de la elipse se les llama cuerda, tales como los segmentos: MN, VV´, BB´, LR, L´R´ y HI
8) A las cuerdas que son perpendiculares al eje mayor y pasan por los focos se les llama lado recto: LR y L´R´.
9) Las cuerdas que pasan por cualesquiera de los focos, seles llama cuerdas focales: HI, LR y L´R´.
10) Las cuerdas que pasan por el centro de la elipse, se les llama diámetros: VV´ y BB´.
Construccion de una elipse
Una forma de constrir una elipse con regla y compas puede lograrse con el siguiente mecanismo:
1. A partir de uno de los extremos del eje menor, por ejemplo el punto D, se traza un arco con una medida del compás equivalente a la mitad deleje mayor, esto es, la distancia OB.
Obtenemos los dos focos de la elipse: F y F’.
2. En el espacio existente entre F y F’, se llevan tres medidas cualesquiera y que sean equidistantes de O.
Para que esta operación sea más sencilla, trazamos tres circunferencias concéntricas desde el centro O. Obtenemos las marcas 1, 2 y 3, por un lado y 1′, 2′ y 3′, por el otro lado
3. Las marcas creadasservirán para hacer los arcos de la siguiente forma. Por ejemplo, con la marca 3, la medida A3 servirá para hacer un arco (desde F) y la medida B3 servirá para hacer el otro arco (en este caso desde F’). Esto es:
Haciendo centro con el compás en el punto F y con un radio A-3, trazamos un arco.
De la misma forma, haciendo centro en F’ y con un radio de B-3, trazamos otro arco que corta al anterior enlos puntos P1 y P2.
4. Se repite la misma operación con todos los puntos originados en la operación anterior (1, 2, 3, 1′, 2′ y 3′). Es un proceso un poco tedioso, pero nada complicado.

Ecuaciones de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la elipse será:


Al quitardenominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.
Si una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto (x0, y0), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector
-x0 1 - y0 2 y obtener una elipse centrada en el origen.
 
Entonces el punto que ha de verificar la ecuacióncanónica es (x - x0, y - y0). Por tanto, su ecuación es:

 
Desarrollando esta ecuación, se obtiene:
 
b2x2 - 2b2x0 x + b2x02 + a2y2 - 2a2 y0y + a2y02 - a2b2 = 0,
 
que se puede poner en la forma:
 
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.
 
Ecuación de una elipse vertical
Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:
  
Los vértices son los puntos (x0 ± b, y0) y (x0, y0 ± a) y los focos son (x0, y0 ± c).
 
Reducción de la ecuación de una elipse
Dada una ecuación del tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse
por el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación reducida de la elipse.
 
Si el segundo miembro fuese 1, se tendría una...