la elipse
LA ELIPSE
LA ELIPSE
Y
La elipse es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos
llamados FOCOS es una constante.
PF+PF’ = 2a
B
2b
A’
F’
F
Elementos
Semieje mayor: a
Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
Focos: F(0, c) , F(0, -c)
Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0),
B(0, b), B’(0, -b)
P(x, y)
2c
A
X
B’
2a2
F1
Y
F2
P(x,y)
La elipse es el lugar
geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya
ubicación en el plano es tal que , la suma de sus distancias a
dos puntos fijos de él es constante. Estos dos puntos fijos del
V
V
1
plano,
se llaman
FOCOS
y 2se designan por
y
O
F1
F2
X
d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) cons tan te
Elementos de la elipse
Los elementos másimportantes de la elipse
son:
FOCOS: Los puntos fijos
RECTA FOCAL: La recta
los focos
F1 yF2
suuu
r
V1V2
a la que pertenecen
suuur
B1 B2
RECTA SECUNDARIA: La simetral
F1 F2
del segmento
CENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y
secundaria y que equidista de los focos .
VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la
recta focal.Se designan:V1 yV2
Segmento V1V2 que se considera de
longitud 2 a: a es el valor del semieje mayor .
• EJE MAYOR:
• EJE MENOR: Segmento B1 B2
de la recta
secundaria interceptada por la elipse . Se
considera de longitud 2b : b es el valor del
semieje menor.
• DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento F1 F2
Se considera de longitud 2c.
C1C2
LADO RECTO : Cuerda focal
perpendiculara la recta focal o eje de simetría . Su medida es
2b 2
a
Elementos de la elipse
En la siguiente elipse identifique los elementos principales de ella
B1
C1
b
V2
F1
F2
c
c
a
a
C2
B2
V1
Valor de la constante y excentricidad de la
elipse
A toda elipse se le asocia un número real que
llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE,
designado por la letrac e, ycuyo valor es :
e
a
Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor
está asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos
elipses ”más o menos achatadas.
c es un número menor que 1.
La excentricidad de la elipse
a
Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se
forma una circunferencia.
Valor de la constante = 2a
d ( P,F1 ) d ( P, F2 ) 2a
Ejemplo:
4
-3
F2
3
o
-4
5
F1
F2
4
o
5
F1
-4
Elipse de excentricidad e =
3
5
Elipse de excentricidad e=
4
5
Valor de la constante
d P, F1 d P, F2 cons tan te
d (V1 , F1 ) d V1 , F2
d (V1 , F1 ) d (V1 , F1 ) d ( F1F2 )
V1
(a c ) (a c) 2c 2a
F2
Luego:
d (P, F1 ) d ( P, F2 ) 2a
P
F1
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA
ELIPSE
y
F1 (c, 0)
(eje focal en el eje X)
F2 (c, 0)
(0,b)
F2
(-a,0)
x2 y 2
1; a, b R
a 2 b2
P(x,y)
La ecuación canónica de la elipse
es :
F1
0
(0,-b)
(a,0)
X
Ecuación canónica de la
elipse
( Eje focal en el eje Y )
F1 (0, c)
Y
V1
F2 (0, c)
(0,a)
2
xy
2 1
2
b
a
F1
(-b,0)
(b,0)
X
F2
V2 (0,-a)
2
Ejemplo 1
Determinar la ecuación de la elipse
con focos (0,6) y (0,-6) y semieje
menor 8
2
2eje focal coincide con el eje Y
Solución:
x
y
c = 6 ; b = 8 y a = 10
1
Luego 2
b
a2
2
La ecuación pedida es :
2
x
y
1
64 100
Ejemplo 2
Encontremos los elementos de elipse de
x 2ecuación
y225
9
1
x2 y 2
2 1; a b
2
a b
Tenemos a = 5 y b = 3, además
C = 4, los elementos de la elipse son :
FOCOS:
F1 (4, 0) yF2 ( 4, 0)
EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10
EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6
LADO RECTO :
2b 2
2·9 18
a
5
5
b c a
2
2
2
VERTICES:
(5,0) y ( -5,0)
EXCENTRICIDAD:
c 4
a 5
y
3
V2
-5
F2
F1 V
1
-4
4...
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