la elipse

Páginas: 9 (2073 palabras) Publicado: 21 de enero de 2015
1

LA ELIPSE
LA ELIPSE

Y
La elipse es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos
llamados FOCOS es una constante.
PF+PF’ = 2a

B
2b
A’

F’

F

Elementos
Semieje mayor: a
Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
Focos: F(0, c) , F(0, -c)
Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0),
B(0, b), B’(0, -b)

P(x, y)

2c

A
X

B’
2a2

F1

Y

F2

P(x,y)
La elipse es el lugar
geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya
ubicación en el plano es tal que , la suma de sus distancias a
dos puntos fijos de él es constante. Estos dos puntos fijos del
V
V
1
plano,
se llaman
FOCOS
y 2se designan por
y
O

F1

F2

X

d ( P, F1 )  d ( P, F2 )  cons tan te

Elementos de la elipse
 Los elementos másimportantes de la elipse

son:

 FOCOS: Los puntos fijos
 RECTA FOCAL: La recta

los focos

F1 yF2
suuu
r
V1V2

a la que pertenecen

suuur
B1 B2

 RECTA SECUNDARIA: La simetral

F1 F2

del segmento

 CENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y

secundaria y que equidista de los focos .

 VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la

recta focal.Se designan:V1 yV2

Segmento V1V2 que se considera de
longitud 2 a: a es el valor del semieje mayor .

• EJE MAYOR:

• EJE MENOR: Segmento B1 B2

de la recta
secundaria interceptada por la elipse . Se
considera de longitud 2b : b es el valor del
semieje menor.
• DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento F1 F2
Se considera de longitud 2c.

C1C2
LADO RECTO : Cuerda focal
perpendiculara la recta focal o eje de simetría . Su medida es
2b 2
a

Elementos de la elipse
En la siguiente elipse identifique los elementos principales de ella

B1

C1

b

V2

F1

F2
c

c
a

a

C2

B2

V1

Valor de la constante y excentricidad de la
elipse
 A toda elipse se le asocia un número real que
llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE,
designado por la letrac e, ycuyo valor es :
e

a

Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor
está asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos
elipses ”más o menos achatadas.
c es un número menor que 1.
La excentricidad de la elipse
a
Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se
forma una circunferencia.
Valor de la constante = 2a

d ( P,F1 )  d ( P, F2 )  2a

Ejemplo:

4
-3

F2

3
o

-4

5

F1

F2

4
o

5

F1

-4

Elipse de excentricidad e =

3
5

Elipse de excentricidad e=

4
5

Valor de la constante
d  P, F1   d  P, F2   cons tan te
d (V1 , F1 )  d  V1 , F2  

d (V1 , F1 )   d (V1 , F1 )  d ( F1F2 ) 
V1

(a  c )   (a  c)  2c   2a

F2



Luego:

d (P, F1 )  d ( P, F2 )  2a

P

F1



ECUACIÓN CANÓNICA DE LA
ELIPSE
y

F1 (c, 0)

(eje focal en el eje X)

F2 (c, 0)

(0,b)

F2
(-a,0)

x2 y 2

 1; a, b R
a 2 b2

P(x,y)

La ecuación canónica de la elipse
es :

F1
0

(0,-b)

(a,0)

X

Ecuación canónica de la
elipse
( Eje focal en el eje Y )

F1 (0, c)

Y

V1

F2 (0, c)

(0,a)

2

xy
 2 1
2
b
a

F1
(-b,0)

(b,0)
X

F2
V2 (0,-a)

2

Ejemplo 1
 Determinar la ecuación de la elipse

con focos (0,6) y (0,-6) y semieje
menor 8
2
2eje focal coincide con el eje Y
Solución:
x
y
c = 6 ; b = 8 y a = 10


1
Luego 2
b
a2
2

La ecuación pedida es :

2

x
y

1
64 100

Ejemplo 2
Encontremos los elementos de elipse de
x 2ecuación
y225



9

1

x2 y 2
 2  1; a  b
2
a b

Tenemos a = 5 y b = 3, además

C = 4, los elementos de la elipse son :
FOCOS:

F1 (4, 0) yF2 ( 4, 0)

EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10
EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6
LADO RECTO :

2b 2
2·9 18


a
5
5

b c  a
2

2

2

VERTICES:

(5,0) y ( -5,0)

EXCENTRICIDAD:

c 4

a 5
y
3

V2
-5

F2

F1 V
1

-4

4...
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