La equivalencia de las logicas

Equivalencias lógicas
Definición: Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.
Ejemplo 2: Lasdos fórmulas siguientes son equivalentes:
(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)          ¬p ∨ ¬q ∨ r
de manera similar a lo establecido en las secciones anteriores, elaboramos el árbol sintáctico
y la tabla

p |q | r | ¬q | ¬p | p → ¬q | ¬p ∨ r | (p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) | ¬ p ∨ ¬q | ¬p ∨ ¬q ∨ r |
V | V | V | F | F | F | V | V | F | V |
V | V | F | F | F | F | F | F | F | F |
V | F | V | V | F | V | V | V |V | V |
V | F | F | V | F | V | F | V | V | V |
F | V | V | F | V | V | V | V | V | V |
F | V | F | F | V | V | V | V | V | V |
F | F | V | V | V | V | V | V | V | V |
F | F | F | V | V | V| V | V | V | V |
donde se puede observar que la última yla antepenúltima columnas son iguales.
Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma.
Teorema: Si dos fórmulaslógicas son eqivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.
Si F ≡ G entonces F ⇔ G
La propiedad inversa también se cumple pues si unabicondicional es una tautología, las fórmulas que la componen son equivalentes. El teorema y su inverso se comprueban directamente de la tabla de verdad de la bicondicional, ver sección 1.3.4 Bicondicional.Tautologías Fundamentales |

p ∨ ¬p | Ley del medio excluido |
¬ (p ^ ¬p) | Ley de no contradicción |
((p → q)^p) → q | Modus ponendo ponens |
((p → q)^ ¬ q) → ¬ p | Modus tollendo tollens |((p ∨ q) ∧ ¬ p) → q | Silogismo Disyuntivo |
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) | Silogismo Hipotético |

La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente hacer latabla de verdad y se obtendrá la columna correspondiente a la fórmula con valores verdaderos únicamente, como se mencionó en el Tema 1.9 Tautologias y Contradicciones.

Equivalencias |

¬(¬p)...