La FOME

28

Cap´
ıtulo 1. Vectores

1.4.

Ejercicios del cap´
ıtulo

1. Hallar la longitud y direcci´n de los siguientes vectores:
o
a) #– = (−4, −4)
v
b) #– = (4, −4)
v

c) #– = (a, 0)
v
d ) #– = (0, b)
v

2. Sean A(−2, 3, 1), B(7, 4, 5) y C(1, −5, 2). Calcule
#– #– #–
a) (2A + B) · C
# –
b) proyAB AC
# –
# – # –
c) El ´ngulo entre BC y BA
a
#– v
3. Sean u y #– dosvectores de Rn . Demuestre que
a)
b)

#–
u+
#–
u−

#–
v
#–
v

2
2

#–
= u
#–
= u

2

#– v
+ 2 u · #– +
2
#– v
− 2 u · #– +

#– 2 .
v
#– 2 .
v

#–
#– #–
#–
#– #–
4. Sean a, b ∈ R3 . Si a = 5, b = 2 y el ´ngulo entre a y b es 60o ,
a
#– #–
#– #–
halle a + b y a − b
#–
#–
#–
#–
ˆ
5. Sean B = ˆ+ 2ˆ+ k, C = 2ˆ+  − k, D = ˆ+ 4ˆ+ k, E = 2ˆ+ 5ˆ+ 5k.
ı  ˆ
ı ˆˆ
ı  ˆ
ı 
#– #–
#–
Muestre que el ´ngulo entre B y C es el doble que el ´ngulo entre D
a
a
#–
y E.
#–
#–
6. Sean u = (2, −5, 3), #– = (4, 1, −2) y w = (3, 4, 3). Determine los
v
#–
#–
valores de λ y µ de modo que λ u + µ #– sea ortogonal a w y tenga
v
longitud 2.
#– #– c
#–
7. Sean a, b , #– ∈ R3 tales que a = 4,
#– #–
entre a y b es 120o y #– es ortogonal a
c

#–
b =3, #– = 2, el ´ngulo
c
a
#– y #–. Calcule a + #– + #–
#– b
a b
c
#– = λ a × #–.
#– b
y los valores de λ de modo que c

8. Considere los puntos P (−2, 3, 4), Q(3, 4, 5) y R(1, −5, 2). Halle
Abel E. Posso A., Alejandro Mart´
ınez A., Jos´ R.Gonz´lez G.
e
a

Secci´n 1.4. Ejercicios del cap´
o
ıtulo

29

a) Las ecuaciones param´tricas de la recta que pasa por P y R. Detere
minelos puntos donde dicha recta cruza los planos coordenados.
b) Las ecuaciones param´tricas de la recta que pasa por Q y corta
e
perpendicularmente a la recta hallada en la parte a).
9. Determine qu´ par de rectas son paralelas (o coincidentes) y cu´les
e
a
perpendiculares.

x = 8 + t



L1 : y = 7 − 1 t ,
2



z = −1 + 3t


x = 7 − 3r


5

L2 : y = −8 + 3 r,
2



z = 9 − 9r
4


x = 3 + 2s



L3 : y = 1 − 2s.



z = 2 − s

10. Determine la ecuaci´n del plano que satisface las condiciones dadas.
o
a) Pasa por A(−2, 3, 1) y B(1, 2, −1) y es paralelo a la recta
L : x = 1 + 2t; y = 2 − 3t, z = −4 + 3t.
ˆ
b) Es paralelo al vector #– = 3ˆ −  + 2k y contiene la recta
v
ı ˆ

 x+ y−z =3
L :
2x + 3y + z = 4.

c)Contiene a la recta L : x = 2 − t, y = −1 + 2t, z = 2 − 3t y al
punto A(−2, 1, 2)

11. Determine la distancia de la recta x = 6 + t, y = 5 − 2t, z = −1 + 3t al
punto Q(2, 3, −1)

12. Muestre que las rectas

x = 1 + 3t



L1 : y = −2 + 4t ; t ∈ R



z = 4 − 2t


x = 1 − 3 r


2

y L2 : y = 1 − 2r ; r ∈ R



z = −1 + r

son paralelas y halle laecuaci´n del plano que las contiene.
o

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´
ınez A., Jos´ R.Gonz´lez G.
e
a

30

Cap´
ıtulo 1. Vectores

13. Considere la recta

L1 :


x =



y



z

3 + 4t

= −2 + 2t ; t ∈ R
= −3 − t

a) Determine ecuaciones param´tricas de la recta L2 que pasa por el
e
punto (1, −5, 4) e intercepta perpendicularmente a la recta L1 .

b)Halle la ecuaci´n cartesiana del plano que contiene a las rectas L1
o
y L2 .

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´
ınez A., Jos´ R.Gonz´lez G.
e
a

Cap´
ıtulo 2

Superficies
2.1.

Introducci´n
o

As´ como la gr´fica de una ecuaci´n en dos variables x y y dada por
ı
a
o
f (x, y) = 0, es por lo general una curva en el plano, la gr´fica de una ecuaa
ci´n en tres variables x, y y z dadapor F (x, y, z) = 0 ser´ por lo general una
o
a
superficie en el espacio. El ejemplo m´s simple de superficie es un plano cuya
a
ecuaci´n es ax + by + cz = d. Otra superficie simple es la esfera con centro
o
(x0 , y0 , z0 ) y radio a, cuya ecuaci´n es (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = a2 .
o

Dibujar curvas y superficies en el espacio es por lo general dif´
ıcil, a´ n con
u
ayuda...