La Formula Perfecta

CURSO DE ACTUALIZACIÓN
FRANCISCO MIÑO MOSQUERA
17 de octubre de 2012

TRABAJO No. 2

FÓRMULA PERFECTA DE EULER

1.

Introducción

Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacidoen 1707 en Basilea
(Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores
de la historia. Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica,
teoría denúmeros, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue
verdaderamente un genio.

2.

Explicación

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal
vez sea laecuación más elegante y magníca de todas. Un número complejo
es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si
1

denimos a z como un complejo, x su parte real e y suparte imaginaria, este
quedaría así,
z = x + iy

Donde i es el número imaginario, denido como la raíz cuadrada de -1,
√

−1 = i

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con elnúmero complejo z,
ez = ex−iy = ex eiy

Mediante series numéricas, Euler encontró que,
eiy = cos y + i ∗ sen y

Por lo tanto,
ez = ez ∗ (cos y + i ∗ sen y )

Esta es conocida como la fórmula deEuler, que dene la exponenciación
compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún. Si hacemos que x valga 0 y que
y tomeel valor de pi,
eiπ = cos π + i ∗ sen π

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,
eiπ = −1

Ó, resulta lo mismo escribir,
eiπ + 1 = 0

Esta es laidentidad de Euler, la ecuación más famosa de la matemática.
En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos
los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación eidentidad. Tenemos
también, los cinco números fundamentales, el cero, el uno, pi, el número e y
el número i. Esta ecuación expresa con unos pocos símbolos matemáticos, una
belleza innita.

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