LA GEOMETRIA DE LOVACHEVSKI

GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

RESPECTO AL ORIGEN DE LOS AXIOMAS Y SU PAPEL EN LA GEOMETRÍA

Para aclarar el papel de los axiomas examinaremos en rasgos generales las etapas más importantes del desarrollo de la geometría desde los tiempos remotos.
La patria de la geometría son los países del Antiguo Oriente donde, hace varios milenios y debido a las necesidades de la agrimensura, arquitectura yastronomía, fueron elaborados importantes principios de aspecto práctico para la medición de ángulos, áreas de algunas figuras y volúmenes de los cuerpos más simples. Estos principios se elaboraron empíricamente ( por vías prácticas ) y, por lo visto, se transmitían oralmente: en los textos matemáticos que llegaron hasta nosotros hallamos frecuentemente aplicaciones de los principios geométricos,pero no encontramos tentativas de formularlos.
Con el tiempo, cuando se amplió el círculo de objetos a los que se aplicaban los conocimientos geométricos adquiridos, se puso en claro la necesidad de formular los principios geométricos en su forma más general, hecho que determinó el paso en la geometría de conceptos concretos a conceptos abstractos. Así, por ejemplo, el principio elaborado paramedir el área de una parcela rectangular de tierra resultó ser apto para medir el área de una alfombra, la superficie de una pared, etc., y, como resultado, surgió la noción abstracta de rectángulo.
De este modo se constituyó el sistema de conocimientos que obtuvo el nombre de geometría. En la primera fase de su desarrollo la geometría era una ciencia empírica, es decir, una ciencia en la quetodos los resultados se deducen directamente en la práctica.
El desarrollo de la geometría marchó por un nuevo camino cuando se reparó en que algunas de sus proposiciones no requieren argumentación empírica, ya que éstas pueden ser derivadas de otras proposiciones mediante deducciones basadas en las leyes de la lógica. Se comenzó a diferenciar en la geometría proposiciones de dos géneros: lasestablecidas por vía práctica ( más tarde denominadas axiomas ) y las demostrables lógicamente basándose en los axiomas ( teoremas ).
Puesto que, por no requerir dispositivos especiales, ni numerosas mediciones fastidiosas, la argumentación lógica en el aspecto técnico es considerablemente más simple que la empírica, ante los sabios de la antigüedad, como es natural, se planteó el problema de reduciral mínimo el número de proposiciones del primer género ( axiomas ) para facilitar de este modo el trabajo del geómetra trasladando el peso fundamental a la esfera del raciocinio lógico. Este objetivo resultó ser realizable, ya que la geometría se abstrae de todas las propiedades de los cuerpos excepto su extensión, propiedad muy esencial pero tan simple que toda clase de relaciones geométricaspueden ser deducidas de un número reducido de proposiciones axiomas según las leyes de la lógica.
De esta manera la geometría se transformó de ciencia empírica en ciencia deductiva de exposición axiomática, que caracteriza su estado actual.
La primera exposición sistemática de las tesis fundamentales de la geometría llegada hasta nosotros fueron los “ Elementos ” de Euclides, escritos cercade 300 años antes de nuestra era. Esta obra está construida según el esquema siguiente: después de las definiciones y de los axiomas se exponen las demostraciones de los teoremas y las soluciones de los problemas, y, con eso, todo teorema nuevo se demuestra basándose en los axiomas y en los teoremas demostrados anteriormente. Los axiomas no se demuestran, solamente se enuncian.
Durante eltranscurso de dos milenios los “ Elementos “ de Euclides gozaron de autoridad innegable en el mundo científico. Sin embargo, un pasaje de este trabajo parecía no estar suficientemente justificado. Se sobreentiende el axioma del paralelismo, que Euclides formuló así:
Si dos líneas rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos,...