La geometria de riemman

1 RIEMANN
Las geometrías no euclidianas no serían plenamente integradas a las principales líneas del desarrollo de las matemáticas hasta el trabajo realizado por el alemán Georg Bernhard Riemann (1826-1866). Riemann fue el hijo de un pastor luterano, aunque nació enfermizo poseía una inteligencia precoz. Fue estudiante de Gauss en la Universidad de Göttingen y luego logró ser profesor de esaprestigiosa institución alemana.
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|Georg Bernhard Riemann |
|(1826-1866) |

Riemann contribuyó directamente a la generación de nuevas geometrías de una forma muy amplia.Una recta esférica es un círculo grande. No posee principio ni fin. Es ilimitada, pero noes infinita.

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Sobre la esfera.
No hay paralelas
Al igual que Gauss, Bolyai y Lobachevsky asumió un postulado contrario al quinto de Euclides. Pero en lugar de asumir que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna. Para Riemann, estaba en mayor acuerdo con la realidad el que no existiera ninguna rectaparalela. Es decir, si se extendieran las rectas tarde o temprano se cortarían.
Esta era la hipótesis del ángulo obtuso de Saccheri.
Pero Riemann no se quedó ahí. Saccheri había combinado este axioma (dos rectas se cortan) con los otros 9 euclídeos, mientras Riemann propuso un cambio adicional. Si era válido dudar del quinto postulado ¿por qué no era posible dudar de los otros?. Eso hizocon relación al segundo postulado.
Recordemos que en la geometría euclidiana:
"Es posible extender un segmento de recta a una recta''.
Es decir, de un segmento podemos obtener un recta infinita. Riemann pensó que lo que realmente podemos garantizar no es una recta infinita, sino más bien que el proceso de extender un segmento no posee fin. Hizo una distinción muy sutil entre entrelongitud infinita y longitud ilimitada o inacabable. Por ejemplo: uno puede recorrer un círculo ilimitadamente pero el círculo posee una longitud finita. De esta manera, Riemann enfatizó una dimensión especial del concepto de recta; éstas aquí no son longitudes infinitas sino ilimitadas.
Armado con la reformulación de estos dos nuevos postulados creó una nueva geometría no euclidiana.
Comousaba postulados euclidianos, al igual que con las otras geometrías no euclidianas, obtenía resultados euclidianos; como, por ejemplo, el criterio de congruencia de triángulos [pic][pic]
Por supuesto, también resultados no euclidianos, por ejemplo:
• La suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor de 180 grados.
• Esta suma, además, varía de acuerdo al tamaño del triángulo.Conforme hacemos el triángulo de menor área, la suma se hace más pequeña, cercana a 0 cuando el área tiende a 0.

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Otro resultado:
• Dos triángulos semejantes son congruentes.
Esto sucede también en la geometría de Lovachevsky.
Este es el tipo de geometría con el que nos familiarizaremos en el siguiente capítulo, a través de una representación de la misma.
Lageometría diferencial
Riemann hizo más que crear una nueva geometría: colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más general. Ya no se trataba de que se cumpliera el postulado de las paralelas o no, Riemann preconizaba un cambio de visión total sobre la geometría. Para Riemann la geometría ya no debía ser sobre puntos o las rectas del espacio como solemos conocerlo, la geometríadebía tratar de lo que se llama variedades. Vamos a ver algunos aspectos de esta historia.
Gauss había realizado mucho trabajo en la construcción de mapas y la llamada geodesia. Y de aquí se engendraría un nuevo enfoque sobre el sentido del espacio.
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El asunto tiene que ver con el Cálculo Diferencial e Integral, creado por Newton y Leibniz en el siglo XVIII. El concepto clave es el de...