La Gran Estafa 4

Prueba 2, Teoría de Probabilidades

Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Prof. Andrés Iturriaga J.
Martes 4 de Junio de 2013
Instrucciones:
Se permite el uso de calculadora científica básica.
No se permite usar apuntes ni cualquier aparato de transmisión electrónica.
El alumno que sea sorprendido copiando o en actividades no acordes con el comportamiento académico, será calificado con nota1,0 en la interrogación
y su caso será informado al concejo de escuela.
Recuerde poner su nombre en todos los cuadernillos.

P1. (a) (1.5 ptos.) Una gran antena parabólica está diseñada para soportar la fuerza del viento. Durante
una tormenta la presión máxima ejercida por este sobre la antena, que denotaremos por la letra
P r, se calcula como
1
P r = CRV 2 ,
2
donde C es el coeficiente dearrastre, R es la densidad de masa de aire y V es la velocidad máxima
del viento. Suponga que C, R y V se pueden modelar como variables aleatorias independientes de
distribución log-normal (cada una) y parámetros: µC = 1,8 (media de C), δC = 0,2 (coeficiente
de variación de C), µR = 2,3 × 10−3 (media de R), δR = 0,1 (coeficiente de variación de R),
µV = 120 (media de V ) y δV = 0,45 (coeficiente devariación de V ). Determine P (P r > 30).
(b) (1.5 ptos.) Datos históricos indican que en un día de celebración de fiestas patrias el número
promedio de accidentes de tránsito (en el país) es de 144. Suponiendo que las ocurrencias de
accidentes se pueden modelar como un proceso de Poisson, calcule la probabilidad que en las
próximas fiestas patrias ocurran por lo menos 4 accidentes entre las 11:00 y12:30 hrs.
(c) (1.5 ptos.) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (−1, 1). Determine la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = 4 − X 2 .

(d) (1.5 ptos.) Demuestre el siguiente teorema:

Teorema 1 (Desigualdad de Bernstein-Chernoff). Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad y
X : Ω → R una v.a. cuya función generadora de momentos, MX (t), esfinita ∀t ∈ T ⊆ (0, ∞).
Entonces ∀a ∈ R,
P (X ≥ a) ≤ inf e−ta MX (t) .
t∈T

Indicación: Use la desigualdad de Chebychev vista en cátedra para una función g adecuada
y note que los eventos {X ≥ a} y {etX ≥ eta } son equivalentes, esto es, tienen la misma
probabilidad.
P3. Sean X e Y variables aleatorias continuas cuya función de densidad de probabilidad conjunta está
dada por
Ke−(x+y) si 0 ≤ x ≤y,
fX,Y (x, y) =
0
en otro caso,
donde K es una constante por determinar.
1

(a) (1.2 ptos.) Determine el valor de K.
(b) (1.2 ptos.) Determine las densidades marginales fX (·) y fY (·).
(c) (1.2 ptos.) Determine las densidades condicionales fX|Y =y (·) y fY |X=x (·).

(d) (1.2 ptos.) Determine E(Y |X = x). Suponga que X = 3. Entregue la mejor predicción (en el
sentido de los mínimos cuadrados) deY .
(e) (1.2 ptos.) Determine Cov(X, Y ).
Tiempo: 2 horas.

2

Distribuciones

Distribuci´
on

Densidad de Probabilidad

Normal

√

Log-Normal

√

1
2πσ

1
2 π (ζ x)

exp −

exp −

1
2

1
2

x−µ
σ

ΘX

Par´
ametros

−∞ < x < ∞

µ, σ

Esperanza, Varianza y fgm

2

ln x − λ
ζ

µX = µ
2
σX
= σ2
MX (t) = exp µX t +

2

x≥0

λ, ζ

µX = exp
2

2
σX
= µX

λ+
e

ζ2

1
2

2 2
σX
t

1 2
ζ
2
−1

E(X r ) =er λ MZ (r ζ), con Z ∼Normal(0,1)

Tabla Normal Est´
andar
Distribuci´
on Normal Est´
andar
Sp
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.98210.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998

0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998

0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628...