La guerra

XXII OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA Sociedad de Matem´tica de Chile a

Soluci´n Prueba Nacional o
Comisi´n Nacional o

NIVEL MAYOR

Problema 1. Pruebe que si a, b son n´meros reales positivos entonces u a 2012 + b 2012 ≥ ab . a 2010 + b 2010 Soluci´n. o Puesto que a, b son n´meros reales positivos se obtiene que a 2010 + b 2010 > 0 y luego la u desiguladad es equivalente a:
a 2012 + b2012 ≥ a 2011 b + b 2011 a ⇔ a 2011 (a − b) + b 2011 (b − a) ⇔ (a − b)(a 2011 − b 2011 ) ≥ 0 .

Como (a − b) y (a 2011 − b 2011 ) tienen el mismo signo su producto es no negativo. Problema 2. Considere un tablero de ajedrez de 8 × 8, es decir, 64 casillas 32 blancas y 32 negras. Se define una trayectoria Alba a cualquier movimiento que contenga 8 casillas blancas, una por fila, que se tocan en unv´rtice. Por ejemplo, la diagonal de casillas blancas es una e trayectoria alba. Determine todas las posibles trayectorias albas que se pueden construir en el tablero. Soluci´n. o Puesto que s´lo son permitidas 8 casillas blancas que se tocan en un v´rtice y hay una y s´lo o e o una por fila el problema se reduce a contar los movimientos al moverse desde arriba hacia abajo sin devolverse. Larespuesta es 296 , la cual se deduce del diagrama siguiente:

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Problema 3. Encuentre todos los n´meros primos p tales que p2 − 3p + 7 y p2 − 7p + 17 son u tambi´n primos. e Soluci´n. o Usaremos que todo n´mero entero tiene una unica representaci´n m´dulo 5, es decir, tiene u ´ o o una unica representac´n de la forma 5k ´ 5k+ 1 ´ 5k + 2 ´ 5k + 3 ´ 5k + 4 con k un entero. ´ o o o o o Supongamos que p = 5k + 1 con k ≥ 2, k = 0, 1 quedan descartados puesto que en esos casos particulares p no es primo. Calculando p2 − 3p + 7 se obtiene que p2 − 3p + 7 = (5k + 1)2 − 3(5k + 1) + 7 = 25k 2 − 5k + 5 = 5(5k 2 − k + 1) el cual no es nunca primo, puesto que es divisible por 5 y (5k 2 − k + 1) = 1 para k ≥ 2 . Similarmente parap = 5k + 2 con k ≥ 0, p2 − 3p + 7 no es nunca primo, p2 − 3p + 7 = (5k + 2)2 − 3(5k + 2) + 7 = 25k 2 − 5k + 5 = 5(5k 2 − k + 1) al menos que k = 0, pues en tal caso 5k 2 − k + 1 = 1. Es decir, p = 2. Adem´s p = 2 cumple a 2 − 7p + 17 = 7. En resumen, p = 2 es la unica soluci´n en la con la propiedad puesto que p ´ o clase de los n´meros 5k + 2. u La otras clases, 5k + 3, 5k + 4 se tratan en formasimilar, (5k + 3)2 − 7(5k + 3) + 17 = 5(5k 2 − k + 1) (5k + 4)2 − 7(5k + 4) + 17 = 5(5k 2 + k + 1) obteni´ndose p = 3 y p = 4 el cual se descarta. e Finalmente en la clase 5k s´lo k = 5 es primo y satisface los requerimientos. Resumiendo, o los unicos primos que satisfacen la condici´n son p = 2, 3, 5. ´ o Problema 4. Pruebe que para todo entero positivo m, los n´meros de la forma 5m+2 se u puedenescribir como suma de tres cuadrados de n´meros enteros. u Soluci´n. o Primero se prueba que para cualquier entero positivo m, la ecuaci´n 5m = x2 + y 2 siempre o tiene soluci´n en los enteros. o Para m = 1 es inmediato puesto que 5 = 12 + 22 . Para m n´mero impar mayor que uno, 5m = 52t+1 . Luego, x = 5t , y = 2 · 5t puesto que u 5m = 52t+1 = (1 · 5t )2 + (2 · 5t )2 = (1 + 22 )52t . Por otrolado, para m = 2 es inmediato puesto que 52 = 25 = 32 + 42 , y para m par mayor que dos se tiene que (3 · 5t )2 + (4 · 5t )2 = 52 · 52t = 52(t+1) . As´ 5m , m entero positivo siempre se puede descomponer como suma de dos cuadrados. ı, Finalmente para m entero positivo, construimos los tres n´meros enteros n1 = 3a , n2 = 4a, u n3 = 5b con a, b soluci´n de x2 + y 2 = 5m . Entonces o n2 + n2 + n2 = 9a2+ 16a2 + 52 b2 = 52 (a2 + b2 ) = 52 5m = 5m+2 . 1 2 3

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Problema 5. Determine todos los pares (m, n) de n´meros enteros positivos que satisfacen u la ecuaci´n o m! + n! = mn . Soluci´n. o Primero, si hay soluci´n necesariamente m ≤ n. Supongamos lo contrario, es decir, m > n. o Entonces podemos descomponer el...