La Hipótesis de Riemman

La Hipótesis de Riemman para jóvenes estudiantes
por
Argimiro Arratia
Departamento de Matemáticas
Universidad Simón Bolívar
 
Estimado estudiante:
Es la opinión de la mayoría de los matemáticos delmundo, que la Hipótesis de Riemman es el problema más importante de las matemáticas aún sin resolver … posiblemente. Al parecer un matemático de nombre francés, quien labora en la Universidad dePurdue, EEUU, afirma haber resuelto este problema. Pero hasta que su solución no salga debidamente publicada y avalada por una buena cantidad de matemáticos, considera el reto de ser tú el primero enresolverla. Te explico entonces, de manera sencilla, lo que es la Hipótesis de Riemann, aunque no con las palabras que utilizó Bernhard Riemman en 1859. (Sí, este es un problema bastante antiguo.)Considera los números naturales, 1, 2, 3, 4, 5, …, etc., y desecha los que sean divisibles por el cuadrado de un natural mayor que 1; es decir, borramos de la lista el 4, 8, 9, 16, 18, 20, 24, …, etc., paraobtener los naturales libres de cuadrados:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, …
Cada uno de los naturales de la lista anterior, excepto el 1, tiene una factorización única comoproducto de números primos distintos. Algunos de estos naturales libres de cuadrados son el producto de un número par de distintos primos, y otros son el producto de un número impar de distintosprimos. Llamemos a un número natural bueno si es el 1 o si es el producto de un número par de distintos primos, y llamémoslo malo si es el producto de un número impar de distintos primos. Así, 6 = 2 x 3 esbueno y 30 = 2 x 3 x 5 es malo.
La Hipótesis de Riemman dice que, para cualquier natural n grande, la diferencia numérica entre los buenos y los malos que hay entre 1 y n no es mucha. De manera másprecisa:
Hipótesis de Riemman: Sea  > 0. Entonces existe N tal que para todo n > N, la cantidad de naturales malos en [1,n] no difiere de la cantidad de naturales buenos en [1,n] por más de n1/2...