La Hiperbola

La Hipérbola
Definición:
La hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano cartesiano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es igual a una constante positiva (2a), en donde "a" puede ser mayor o menor que "b" y la posición de la hipérbola se determina dentro del plano dependiendo si dentro de la ecuación "x" o "y" es positivo.
Unahipérbola parte de sus vértices abriéndose cada vez más y tendiendo hacia dos rectas llamadas asíntotas, las cuales nunca llegan a tocar. Al rectángulo que forman las asíntotas, se le llama rectángulo auxiliar, y sus lados tiene por longitud 2a y 2b. Los vértices de la hipérbola son los puntos de intersección del eje principal y el rectángulo auxiliar. Al prolongar las diagonales del rectángulo seobtienen las asíntotas; se traza cada rama de la hipérbola a través de su respectivo vértice usando las asíntotas como guías.
Ecuaciones de las asíntotas.
Cuando el eje mayor de una hipérbola es horizontal, la ecuación de la asíntota es:
A Y = + bx
A (Y-k) = + b(x-h)
Cuando el eje mayor de una hipérbola es vertical, la ecuación de la asíntota es:
BY = + ax
B (Y-k) = + a(x-h)
En donde:
A es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértice del eje mayor.
B es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértices del eje menor.
C es igual a la distancia del centro a cualquiera de los puntos fijos o focos
Características
• Lahipérbola posee una excentricidad mayor que uno, la cual se define como la distancia del centro hacia uno de los focos, dividida, la distancia del centro a uno de los vértices.
2.La longitud del eje mayor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del eje mayor.
3.La longitud del eje conjugado se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de lospuntos del vértice del eje menor
las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratadoCónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
Sean h y k las coordenadas del centro de la curva, cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas como se indica en la figura:

La ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es , si lareferimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:
x = x' + h
x' = x - h
y = y' + k
y' = y - k
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Verticalcon centro C(h , k), es:

La excentricidad es mayor a la unidad
> 1
o por la relación del punto a un foco con respecto del mismo punto a la directriz ubicada la mismo lado del foco.

El lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos y su longitud la calculamos por

mientras que las ecuaciones de las directrices son:
cuando la hipérbola tiene eje realhorizontal, es decir, los focos están sobre el eje de las abscisas
x =
cuando la hipérbola tiene eje real vertical, es decir, los focos están sobre el eje de las ordenadas
y =
Las ecuaciones de las asíntotas son:
cuando el eje real es el eje de las abscisas
(y - k) = (x - h)
cuando el eje real es el eje de las abscisas
(y - k) = (x - h)




La ecuación dada es de la forma que...