LA HIPERBOLE

HIPÉRBOLA

 Recordamos que si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola.

Las superficies comunes: plano y cono las podemos representar:

Las dos ramas de la hipérbola podemos trazarlas del siguiente modo:

Esta hipérbola tiene su centro en el origen de coordenadas. 
Los vértices están representados por A y A’ y los focos por F y F’.La distancia entre los vértices nos viene dada por A’A = 2a
 
Hipérbola.- Definición
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos llamados focos se mantiene constante e igual a 2a.
Teniendo en cuenta la figura siguiente:

y sabiendo por el contenido de la definición comprobamos que las diferencias entre las distancias:

 Construcción de una hipérbola
Hay varias formas sencillas para la construcción de hipérbolas. Describiremos dos:
A).- Necesitas tres pequeños clavos, un  trozo de listón de madera (16 cm), una delgada cuerda (10 cm.) y chapa o tablero de madera.
Dos de los clavos los clavas, sin introducirlos del todo, en  el tablero  de madera (serían los FOCOS) separados 10 cm. 
Las medidas pueden variar pero ladistancia entre los focos debe ser mayor que la diferencia entre la longitud del listón y la de la cuerda.  Longitud listón – longitud cuerda < F’F.

Al trozo de listón, que no tenga un grosor excesivo, que te sirva de regla, fijándote en la figura siguiente, le clavas el tercer clavo sin introducirlo del todo y le atas la cuerda.
 En la parte posterior y a partir de la cara plana le haces un pequeñoagujero tal como ves en la misma figura:

El trozo anterior de madera lo pones horizontal de modo que uno de los clavos de los focos pase por el agujero (lo habrás tenido que sacar e introducirlo nuevamente) y el extremo libre del cordel lo atas en el otro clavo libre que hace de foco.
Observa la figura siguiente tensando suavemente la cuerda (para ello tendrás poner un peso encima del trozo demadera o sujetarlo suavemente con una mano):

Colocas un lapicero, rotulador, etc., detrás de la cuerda que siempre has de mantenerla tensa:

Ahora haces deslizar el rotulador, lapicero o bolígrafo tocando al trozo de madera y  empujando a la cuerda manteniéndola un poco tensa (pisar con la mano suavemente a la madera o con un pequeño peso que le hayas puesto encima):

A medida que deslizasel lapicero o rotulador manteniendo tensa la cuerda irás dibujando sobre el color verde una rama de la hipérbola de color rojo, en el caso del ejemplo al tiempo que gira el trozo de madera.
Para completar la hipérbola te basta cambiar posiciones.
B).- Otro modo sencillo de trazar una hipérbola es el siguiente:
Dibuja un eje de coordenadas
Divide los ejes con divisiones de 1 cm y numéralos apartir del foco.
Señala los focos y los vértices y te habrá quedado:

Toma un compás, con radio igual a la distancia  haciendo centro en F y F’ traza unos arcos (si quieres también circunferencias). Haces lo mismo pero con radios , etc , y uniendo los puntos creados por las intersecciones de los arcos obtenidos llegarás a:

Si hallas las distancias de un punto de la hipérbola a cada uno de losfocos hallarás que sus diferencias valen lo mismo, una cantidad igual a 2a (distancia entre los vértices)  en nuestro caso, 2 cm.

 
HIPÉRBOLA
 
Elementos de una hipérbola
Hasta ahora hemos visto los focos y los vértices.

Se llama eje focal la recta donde están situados los focos. También podemos considerarlo como eje principal.
Eje secundario es la mediatriz del eje focal OB.
Radiosvectores de un punto de la hipérbola son los segmentos PF y PF’ (siendo P el punto de la hipérbola vistos en figura anterior).

Asíntotas son las dos rectas, en color morado, que pasan por el centro de la hipérbola cuyas ramas se aproximan cada vez más sin llegar a tocarse.
Al ser unas rectas podemos calcular sus ecuaciones utilizando la forma de punto pendiente: 
Como pasan por el origen y...