La inducción matematica
Páginas: 2 (315 palabras)
Publicado: 10 de marzo de 2015
La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valoresenteros.
En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor El número entero a tiene la propiedad P
Premisa menor El hecho de quecualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene
Conclusión Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P
El razonamiento parademostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es el siguiente:
Llamemos Pn la proposición al rango n.
•Se demuestra que P0 es cierta, o el primervalor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
•Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el enteronatural n. (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluímos por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.
La inducción puede empezar por otro término queP0, digamos por Pno. Entonces Pn no será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.
Un ejemplo sencillo:
Probar la siguiente igualdad. 1+4+7....+(3n-2) = n(3n-1)/2.
Lo vemos para n = 1
1 = 1 (3-1)/2
Lo suponemos cierto para n, y lo vemos para n+1
1 + 4 + 7 + .... ....+ (3n – 2) + (3(n+1) – 2) = ¿¿ (n+1) (3(n+1) – 1)/2??
= cono es cierto para n =
= ( n (3n-1)/2.) + (3(n+1) – 2) =
= ( n (3n-1). + 2(3(n+1) – 2) /2 =
= ( n (3n-1). + 6n + 6 – 4) /2 =
= ( n (3n-1). + 6n + 2) /2 =
= ( 3n²– n + 6n + 2) /2 =
= ( ( 3n² + 6n + 3) – n – 1) /2 =
= ( 3 (n² + 2n + 1) – (n + 1) ) /2 =
= (3 (n+1)² – (n + 1) ) /2 =
= (n+1) (3 (n+1) – 1 ) /2
Como queríamos demostrar.
En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor El número entero a tiene la propiedad P
Premisa menor El hecho de quecualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene
Conclusión Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P
El razonamiento parademostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es el siguiente:
Llamemos Pn la proposición al rango n.
•Se demuestra que P0 es cierta, o el primervalor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
•Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el enteronatural n. (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluímos por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.
La inducción puede empezar por otro término queP0, digamos por Pno. Entonces Pn no será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.
Un ejemplo sencillo:
Probar la siguiente igualdad. 1+4+7....+(3n-2) = n(3n-1)/2.
Lo vemos para n = 1
1 = 1 (3-1)/2
Lo suponemos cierto para n, y lo vemos para n+1
1 + 4 + 7 + .... ....+ (3n – 2) + (3(n+1) – 2) = ¿¿ (n+1) (3(n+1) – 1)/2??
= cono es cierto para n =
= ( n (3n-1)/2.) + (3(n+1) – 2) =
= ( n (3n-1). + 2(3(n+1) – 2) /2 =
= ( n (3n-1). + 6n + 6 – 4) /2 =
= ( n (3n-1). + 6n + 2) /2 =
= ( 3n²– n + 6n + 2) /2 =
= ( ( 3n² + 6n + 3) – n – 1) /2 =
= ( 3 (n² + 2n + 1) – (n + 1) ) /2 =
= (3 (n+1)² – (n + 1) ) /2 =
= (n+1) (3 (n+1) – 1 ) /2
Como queríamos demostrar.
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.