La inorganica

L a aproximación orbital
Ecuaciones resolubles e irresolubles.
La ecuación de Schrödinger es irresoluble de forma exacta para átomos o iones con más de un electrón, lo
que no se debe a su complejidad: complejidad e irresolubilidad no están necesariamente asociadas. De
hecho, ecuaciones muy simples son también irresolubles de forma exacta. La solución exacta para una
ecuación de segundo gradoax 2 + bx + c = 0 se obtiene despejando la variable x :
2
x = –b ± b - 4ac
2a
Esta es una resolución analítica de la cual obtenemos una solución exacta. La mayoría de ecuaciones no se
pueden resolver de esta forma.
En una ecuación tan sencilla como
x 3 + x 2 + x = 10–2
no es posible despejar la variable x y obtener una solución analítica. Un primer método de resolución
consiste ensimplificar la ecuación para hacerla resoluble, eliminado uno o más de sus términos. Conviene
escoger con cuidado las simplificaciones, para que afecten lo menos posible al resultado final. En la
ecuación anterior, el valor de x debe ser bastante inferior a 1 pues la suma de los tres términos vale 10–2.
En tal caso, el cuadrado y cubo de x serán mucho más pequeños que el propio x y podríamosdespreciarlos:
x3 + x2 + x x
obteniendo como solución aproximada, x = 1 10–2. Alternativamente, es posible utilizar un método
numérico en el que se prueban valores que se modifican progresivamente mediante iteraciones para
acercarse al resultado correcto. De hecho, la resolución ideal combina ambos métodos utilizando el primero
para obtener una solución inicial, 1 10–2 en el ejemplo, que se modificaiterativamente hasta obtenerla con
la precisión deseada, por ejemplo 1 10–2, 0,9 10–2, 0,95 10–2, 0,97 10–2, 0,99 10–2, 0,995 10–2,
0,993 10–2, 0,991 10–2, 0,990 10–2... Este tipo de cálculos los realiza de una forma rápida y eficaz un
ordenador. La solución obtenida no será en muchas ocasiones exacta pues la solución exacta o bien tiene un
número infinito de decimales o bien un número muchomayor del que podemos o necesitamos determinar.
En la práctica, en un sistema físico no necesitamos soluciones exactas sino únicamente de la suficiente
exactitud para el fin deseado. Cuando además, como es el caso de la ecuación de ondas, las soluciones son
funciones de complejidad creciente con su exactitud, a veces es mejor llegar a un compromiso y renunciar a
una descripción más exacta delsistema para utilizar otra más simple pero también más comprensible.Es
habitual en Química realizar cálculos mecano-cuánticos inicialmente mediante métodos muy aproximados
pero que permiten hacerse una idea cualitativa del problema, para a continuación confirmar la interpretación
mediante cálculos más exactos y difícilmente interpretables pero que dan valores cuantitativos de, por
ejemplo, laenergía mucho más exactos.
Ecuaciones con varias variables
Para resolver analíticamente una ecuación o un sistema de ecuaciones con varias variables hay que separar
las diferentes variables que la componen. Así, el siguiente sistema de ecuaciones
x+y=5
x–y=1
se soluciona fácilmente pues las variables x e y están separadas en distintos términos:
x = 5– y ; 5 – y – y =1 ; y = 2 luego x = 3
Sien el sistema las variables no están ya separadas, el primer paso es hacerlo. Por ejemplo, en el sistema
x + y + xy = 11

x – y + 2xy = 13
podemos separar las variables x e y que están mezcladas en el tercer término de cada ecuación, restando la
segunda de dos veces la primera, con lo que queda que
–x – 3y = –9; x = 9 – 3y
y sustituyendo x por 9 – 3y en, por ejemplo, la primera ecuación9 – 3y + y + (9 – 3y )y = 11; 3y 2 –7y + 2 = 0
de donde se deduce que y = 3 o 1/3 , x = 2 o 8.
De hecho este es el procedimiento que utilizamos para resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de
hidrógeno, donde primero separamos φ del resto de variables, y posteriormente θ y r.
La irresolubilidad exacta de cualquier sistema de ecuaciones de tres partículas que
interaccionan entre sí...