la integral

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1

IDENTIFICACIÓN
UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL
UNIDAD TEMÁTICA
LA INTEGRAL
COMPETENCIA

RESULTADOS DE APRENDIZAJE
El estudiante:
1. Calcula área bajo una curva utilizando la suma de Riemman
2. Utiliza la notación sigma y sus propiedades para el
planteamiento de una integral comosumas de área.
3. Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas
básicas de integración
para dar solución a problemas de
aplicación en diferentes contextos
4. Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
entorno de aplicación
5. Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales
sencillas

Interpretar
el
significado
geométrico y analítico de laintegral definida teniendo en
cuenta sus propiedades para la
resolución de problemas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1. Utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función dada,
el eje x , sobre el intervalo establecido. Dibujar la región y verificar su respuesta aplicando el
primer teorema fundamental del cálculo.
a. y  8  2 x  x 2 ,  2,0y  4 x  x 2 , 1,4

b.

y  9  x 2 ,  1,3

c.

y  6 x 2  13x  5 , 1,4

d.

2. Sabiendo que:

halle:

a)

b)

d)

e)

c)
f)

3. Cuáles de las siguientes funciones son integrables en el intervalo  2,2 y cuáles no? Exponga
sus razones
a. y  ln x

y  x 3  senx
1
c. y 
x 1
x  11
d. y 
x2
e. y  tan x
b.

4. Evalúe las siguientesintegrales
a)



3

0

e u 1 du

b)

 4



0

sen  sen tan 2 
d
sec 2 

t 2  t 1
 t dt
1
e

5



c) 2  x dx
1

VERSIÓN:

d)

FECHA: II-2011

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1



3

e) 10
0

x 1

dx

f)

4

i)

 (4  x )dx

4

j)

 4



0

 4



0

1  cos 3 
d
cos 2 

tan cos  d

0.3



1 t

5

1

2

6



g)

k)

0.5

dt
6t

2





1 

h) y 3 y  2 dy

y 

1 

dt



2





l) ( y  1) 3 y  y dy
0

5. Determine el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4] y encuentre el valor de C que
hace posible este valor.
6. Una maquina tiene un ritmo de depreciación

dV
 10000(t  6),0  t  5 , donde V es el valor de la
dt

máquina después de t años. Formular y calcular una integral definida que represente el valor de la
máquina a los tres años.
7. Una compañía productora
automóviles,
aproximo el
modelo:

de dispositivos neumáticos para una empresa ensambladora de
número de dispositivos vendidos mensualmente U(t) mediante el

1

U (t )  2005t   donde t esel tiempo en meses
2

a) Encuentre el promedio de dispositivos neumáticos vendidos durante el primer año
b) Determine el valor C que garantiza este valor medio
8. El beneficio, en miles de dólares, producido por un producto comercial durante los seis primeros
meses viene dado por P  5( t  30) . Encuentre el beneficio medio.
9. Una partícula se mueve por el eje x con velocidad v(t ) 1
t

, t  0. En el instante t  1 su posición

es x  4 . Hallar la aceleración y la función posición de esta particula.
10. Un vivero suele vender los arboles tras 6 años de crecimiento. El ritmo de crecimiento de eso seis
años viene dado por

dh
 1,5t  5 , donde t es el tiempo en años y h es la altura en cm. En el
dt

momento de plantarlos miden 12 cm.
a) Calcular la alturatras t años
b) Qué altura tiene en el momento de ser vendidos?
11. Explique con exactitud:
a) La proposición “La derivación y la integración son procesos inversos”

 1
 8

  2
  8



 8
 8



b) Como utilizaría la notación sigma para escribir 5   3  5   3  ...  5   3





c) Suma superior y suma inferior
d) La integral definida...