La interpretación geométrica de la derivada

Interpretación Geométrica y Física de la Derivada
Interpretacion Geométrica de la Derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del grancientífico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.  
Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y =f (x) (fig. 9.5.). 

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fig. 9.5.

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.  
La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.  
Cuando elpunto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curvaen P.  
Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: ,  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por  viene dada por:  


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fig. 9.6.
Enconsecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente  viene dada por:  

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es:  
(Punto – Pendiente)  
Interpretación Física De La Derivada
 
Velocidad promedia y velocidad instantánea
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas,la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.  
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcólecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.  
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marcala velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea. 
Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del...