La inversa generalizada.

LA INVERSA GENERALIZADA.
El álgebra matricial clásica sostiene que la matriz inversa de una matriz A debe cumplir varias condiciones :
- que la matriz A sea una matriz cuadrada
- que la matriz A no sea singular; es decir que su determinante no
no sea cero
- que la matriz A satisfaga la expresión A¬¹ x A = A x A¬¹ = I
siendo I la matriz identidad
Se define en el álgebra matricial clásicacomo matriz inversa, la cual se designará como A-¹, de una matriz A dada, a la matriz calculada así :
1
A¬¹ = ------------------------ x A
Determinante de A adjunto
Ejemplo :

por lo tanto :

El concepto de la inversa generalizada fue introducida por el matemático norteamericano ELIAKIM HASTINGS MOORE ( 1862 – 1932 ), a quien se
considera como el "padre de la matemática norteamericana" ,en 1920, que permite obtener la inversa de cualquier matriz, sea cuadrada o no, singular o no, lo cual no es posible realizar con la inversa clásica. Una solución diferente ya había sido planteada por el Geodesta Alemán FRIEDRICH ROBERT HELMERT ( 1841 – 1917 ) en el año 1906 y en 1916. Dada la poca acogida a lo planteado por E. H. MOORE, éste vuelve a presentar la inversa generalizada de unamanera mas amplia, pero por la escasa referencia que se encuentra en la literatura entre 1920 y 1949, se desprende que no tuvo receptividad.
Para el año 1948 el geodesta y matemático Finlandés ARNE BJERHAMMAR
presenta una nueva definición de la inversa generalizada, independiente de los trabajos de E. H. MOORE, y la aplica al cálculo de compensación por el método de los cuadrados mínimos o Norma deGauss-Legendre, además introduce la estimación estocástica con el uso de la inversa generalizada. Durante el período que va desde 1948 hasta 1971 desarrolló ampliamente todo lo relativo a la inversa generalizada, con aportes y publicaciones diversas.
La matriz inversa generalizada de una matriz A de orden n x m es una matriz A¬¹, que algunos designan como A+ o bien Ag que satisface la relaciónsiguiente :
A x A-¹ x A = A o bien A-¹ x A x A-¹ = A-¹
Siendo la relación de la inversa clásica :
A x A-¹ = A-¹ x A = I ( matrizidentidad )
un caso particular de la inversa generalizada.
Para hallar la inversa generalizada de una matriz, la cual puede no ser única , se utiliza la inversa clásica si una matriz cuadrada puede ser obtenida por partición y ser invertible en forma clásica. Esto nosplantea varios casos :
CASO A :

CASO B :

CASO C :

Para cualquiera de estos tres casos A, B y C la matriz inversa generalizada A-¹ es la matriz inversa clásica de la sub-matriz cuadrada no singular , más la adición de elementos ceros para llevar la matriz A-¹ al orden correcto, puesto que para la matriz dada A de orden m x n la inversa generalizada A-¹ es de orden n x m
Ejemploilustrativo :
Consideremos un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial :

que en forma simbólica se escribe de la manera siguiente :
A x X = L por lo tanto : X = A-¹ x L
Obsérvese que la matriz A es una matriz de 4 x 3 la cual no podemos hallarle su inversa clásica, por no ser una matriz cuadrada. Apliquemos los casos A, B y C antes presentados.
CASO A :

por lo tanto :CASO B :

por lo tanto

CASO C :

por lo tanto :

Para la matriz A se han obtenido TRES matrices inversas. Si calculamos las incógnitas X1,X2 y X3 se obtienen los mismos resultados.
CASO A :

Si al sistema de ecuaciones lineales le aplicamos el concepto de las ecuaciones normales, se tiene lo siguiente :
A x X = L
multiplicando cada lado por la matriz transpuesta de A, quedesignamos como At se obtiene lo siguiente :
At x A x X = At x L
Por lo tanto :
X = ( At x A )-¹ x At x L
Denominando :
At x A = N y At x L = F
Resulta :
X = N-¹ x F
Para el caso del ejemplo ilustrativo del sistema de ecuaciones lineales resulta :

Como la matriz N es una matriz cuadrada y simétrica ( siempre lo será ), no singular, se puede aplicar la inversa clásica, obteniéndose finalmente...