La Ley De Gauss

La Ley de Gauss

Introducción
La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del electromagnetismo por dos razones básicas:

En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando esta presenta buenas propiedades de simetría.
En estos casos, suele resultar mucho mas simple usar la ley de Gauss queobtener E por integración directa sobre la distribución de cargas, tal y como se ha descrito en el tema anterior.

En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley básica, no solo de la electrostática, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenómenos electromagnéticos).Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuación matemática que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada en su interior.

La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto de líneas de campo. Como se vio en el tema anterior, el numero de líneas de campo que parten de una carga q es proporcional adicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el numero total de líneas que pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior.

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma,también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese lafigura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido haciaafuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
(1)
O sea:(2)
Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme


Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:
El flujo ΦE puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y(c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo θ, para todos los puntos, es de π, E tiene un valor constante y los vectores dS son todos paralelos.
Entonces:
(4)
siendo S = πR2el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:
(5) Campo producido por un hilo rectilíneo cargado
En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R,de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de  C/m.

El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es

Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y, y otra a lo largo del eje horizontal X.

La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por...