la linea recta

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES
Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo III
LA LÍNEA RECTA
3.1

DEFINICIÓN:

Es el lugar geométrico de los puntos que describen una función de modo que si se
toman 2 puntos arbitrarios de esa función P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), se cumple que la
pendiente “m” es siempre constante. Donde “m” se define como:y − y1
m= 2
x2 − x1

Es importante notar que la pendiente es numéricamente igual a la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje de las “x” (ángulo “θ”).

y − y1
Tg ( θ ) = m = 2
x2 − x1
El ángulo medido se considera positivo en sentido antihorario (opuesto al sentido de
rotación de las manecillas del reloj).
Problema Resuelto 1:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa porel punto A(2, 3) y tiene una pendiente
m=2.
Solución:
Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”.

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Tan (θ ) = m = 2

θ = Tan −1 ( 2) = 63.44º

Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x, y).

Se calcula lapendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).
m=

y −3
x−2

Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “2”.
m=2

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:
y−3
=2
x−2

Se elimina el denominador del término izquierdo:

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FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES
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Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadory − 3 = 2( x − 2)

Se simplifica la expresión previa:
y − 3 = 2x − 4

Se despeja “y”:
y = 2x − 4 + 3
y = 2x − 1 Solución

La expresión encontrada como solución permite una rápida graficación:
y = 2x − 1
x y
-3 -7
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
3 5

El gráfico que se obtiene es similar al que se presentó previamente.

Verificación:
Como se esperaba, la recta pasa por el punto A(2,3).
Para verificar que la recta tenga la pendiente apropiada se seleccionan 2 puntos
arbitrarios A(2, 3) y B(-2, -5).

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y 2 − y1
x 2 − x1
( −5) − ( 3) − 5 − 3 − 8
m=
=
=
( −2) − ( 2) − 2 − 2 − 4
m=2
m=

NOTA 1: Si bien la solución presentada es de la forma y = 2x − 1 ,igualmente pudo
haberse descrito la solución como y − 2x + 1 = 0 (todos los términos se pasaron al
miembro izquierdo) o 2 y − 4x + 2 = 0 (la ecuación completa se multiplicó por una
constante), pues todas esas expresiones son equivalentes.
NOTA 2: Para la obtención de la ecuación de la línea recta se ha requerido aplicar la
definición de pendiente e incluir un punto genérico P(x, y)perteneciente a dicha recta.

Problema Resuelto 2:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, -5) y que está inclinada 45º
con relación al eje positivo de las “x”.
Solución:
Se dibuja la recta asumiendo que un ángulo positivo se mide antihorariamente (en
sentido opuesto a la rotación de las manecillas del reloj) desde el eje positivo de las “x”.

La pendiente de la recta es latangente del ángulo que forma con el eje positivo de las
“x”.
m = Tan (θ) = Tan ( 45º )
m =1

Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x,y).

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Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).
y − ( −5)
x −3
y+5
m=
x −3m=

Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1”.
m =1

Se igualan las 2 expresiones anteriores:
y+5
=1
x −3

Se elimina el denominador del término izquierdo:
y + 5 = x −3

Se despeja “y”:
y = x − 3− 5

Se simplifica la expresión anterior:

y = x − 8 Solución
Se encuentran los puntos que permitan una graficación detallada de la recta:
y = x −8
x y
0 -8
1...