La linea recta

LA LÍNEA RECTA

DEFINICIÓN:
Es el lugar geométrico de los puntos que describen una función de modo que si se
toman 2 puntos arbitrarios de esa función ⎯P1(x1, y1) y P2(x2, y2)⎯, se cumple que la
pendiente “m” es siempre constante. Donde “m” se define como:






[pic]

Es importante notar que la pendiente es numéricamente igual a la tangente del
ángulo que forma la recta con el ejede las “x” (ángulo “q”)



. El ángulo medido se considera positivo en sentido antihorario (opuesto al sentido de
rotación de las manecillas del reloj).

Problema:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene una pendiente
m=2.

Solución:
Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”.
Tan(θ) ’ m ’ 2
θ ’ Tan −1(2)’ 63.44º

[pic]

Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x, y).

[pic]
Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).




Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “2”.
m ’ 2
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:



Se elimina el denominador del término izquierdo:

y − 3 ’ 2(x − 2)
Sesimplifica la expresión previa:
y − 3 ’ 2x − 4
Se despeja “y”:
y ’ 2x − 4 + 3
y = 2x - 1 Solución

La expresión encontrada como solución permite una rápida graficación:

y ’ 2x − 1

|x |Y |
|-3 |-7 |
|-2 |-5 |
|-1 |-3 |
|0 |-1 |
|1 |1 |
|2 |3 |
|3 |5 |


El gráfico que se obtiene es similar al que se presentópreviamente.

[pic]

ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE:
Como se demostró en los ejemplos anteriores, si se conoce un punto por el que pasa una
recta y su pendiente, es factible definir la ecuación de la recta.
Se toma una recta que pasa por el punto conocido P1(x1, y1); además se conoce que la
recta tiene una pendiente cuyo valor es “m”.

[pic]

Se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a larecta.
[pic]

Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P1(x1, y1) y al punto
genérico P(x, y).




Otra forma de presentar la ecuación de la recta se consigue al despejar “y”.
y − y1 ’ m(x − x1)
y = m(x - x1 ) + y1 Ecuación Punto-Pendiente



Problema:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene una pendiente m
= -1 .
Solución:Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”.
Tg (θ) ’ m ’ −1
θ ’ Tan −1(−1)
θ ’ −45º

El ángulo de “-45º” se debe medir en sentido horario desde el eje positivo de las “x”.
[pic]
Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).



Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “-1” (es datodel problema).
m ’ −1
Igualando las 2 expresiones anteriores:



Se elimina el denominador del término izquierdo:
y −1 ’ −1(x − 2)
Simplificando:
y −1 ’ −x + 2

Despejando “y”:
y ’ −x + 2 +1
y = -x + 3 Solución
Para graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación de valores
en base a la expresión previa.
y ’ −x + 3

|x |Y |
|-3 |6 ||-2 |5 |
|-1 |4 |
|0 |3 |
|1 |2 |
|2 |1 |
|3 |0 |

El gráfico que se obtiene es:

[pic]













ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA AL ORIGEN:
Un caso especial de la ecuación de la recta que pasa por un punto determinado y se
conoce su pendiente es aquel en que se fija en qué punto intercepta la recta al eje de las“y” y se define su pendiente. La forma simplificada de esta ecuación recibe el nombre
de Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen.
Se toma una recta que corte al eje de las “y” a una distancia “b” desde el origen, y que
posee una pendiente “m”.
[pic]
El punto de corte de la recta con el eje de las “y” tiene por coordenadas (0, b), pues su
proyección sobre el eje de las “x” es nula, y su...