La locura

Distribución exponencial
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:
• Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
• el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempotranscurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
• El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
• El tiempo que puede transcurrir en unservicio de urgencias, para la llegada de un paciente;
• En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continuaX distribuida a lo largo de[pic], es tal que su función de densidad es
[pic]

Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro[pic], [pic].

  
|Figura: Función de densidad, f, de una[pic]. |
| |

Un cálculo inmediato nosdice que si x>0,

[pic]

Luego la función de distribución es:

[pic]

 
|Figura: Función de distribución, F, de[pic], calculada como el área que deja por debajo de sí la |
|función de densidad. |
| |

Paracalcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica

[pic]

Para después, derivando por primera vez
[pic]

Y derivando por segunda vez,
[pic]

Entonces la varianza vale

[pic]

Ejemplos:

1. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de maquina de manufactura sigue una distribución exponencialcon media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una empresa a la que se le ha instalado esta maquina se le deba reimplantar otra antes de 20 años? Si la maquina lleva funcionando correctamente 5 años en una empresa, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de [pic]años?
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

O sea, en la duración que se espera que tenga la maquina, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene memoria".
2. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuidaexponencialmente con tiempo promedio de falla[pic]. Sí 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?
 
Solución:
La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:
 
[pic]
 
Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años.Entonces mediante la distribución Binomial,
n = 5
p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años
 
P(x ( 2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) +p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)
 
[pic]
 
3. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida...