la locura

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales

SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL

{

}

Problema 1: Sea el conjunto A = u , v, w , donde u = ( 2,1) , v = ( 2, 4) y w = ( 5, 4 ) .
Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v .
SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de combinacion lineal:
w = α1 u + α 2 v
• Sustituyendo valores:

( 5, 4 )= α1 ( 2,1) + α 2 ( 2, 4 )
( 5, 4 ) = ( 2α1 , α1 ) + ( 2α 2 , 4α 2 )
( 5, 4 ) = ( 2α1 + 2α 2 , α1 + 4α 2 )
• Igualando terminos:
2α1 + 2α 2 = 5
α1 + 4α 2 = 4
• Resolviendo el sistema deecuaciones anterior matricialmente:
⎛2 2
⎜
⎝1 4

5⎞ ⎛ 1 4
⎟→⎜
4 ⎠ ⎝ 0 −6

4 ⎞ ⎛1 4
4 ⎞
⎟→ ⎜
⎟
−3 ⎠ ⎝ 0 1 1/ 2 ⎠
α2 =

1
2

α1 + 4α 2 = 4 → α1 = 4 − 2 → α1 = 2
• Por tanto:
1
w = 2u + v2

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

Combinación lineal pedida

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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOSÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:
A = {( −1,0, 2 ) , ( 0, − 4, 2 ) , ( 2,0, − 4 )}

es linealmente dependiente oindependiente.
SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de dependencia lineal:
α u + βv + γ w = 0
• Sustituyendo valores:
α ( −1,0, 2 ) + β ( 0, − 4, 2 ) + γ ( 2,0, − 4 ) = 0

( −α + 2γ, − 4β, 2α + 2β − 4γ ) = (0,0,0 )
• Igualando terminos:
− α + 2γ = 0
− 4β = 0
2α + 2β − 4γ = 0
• Resolviendo el sistema anterior matricialmente:
⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛ 1 0 − 2 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 0 − 4 0 ⎟ →⎜ 0 1 0 ⎟ → ⎜ 01 0 ⎟
⎜ 2 2 − 4⎟ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
• De donde se obtiene:
0γ = 0 →

γ = a∈R

β=0
α − 2γ = 0 →

α = 2a

• Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, elconjunto “A” es
linealmente dependiente (es un conjunto generador).

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López...