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APLICACIONES DE LA DERIVADA (continuacin) 3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN Cuando tenemos un problema en donde hay que encontrar los valores para los cuales una funcin tiene un valor mximo o mnimo, lo que debemos hacer es Encontrar la funcin a maximizar o minimizar. Esta funcin por lo regular est en trminos de dos variables. Encontrar la relacin entre las variables presentes en la funcin y despejar auna de estas variables. Esta relacin siempre la podemos encontrar de los datos del problema. Escribir la funcin en trminos de una sola variable. Derivar la funcin con respecto a su variable independiente. Igualar la derivada con cero para encontrar los valores crticos. Reconocer, mediante el criterio de la segunda derivada, a los valores mximos o mnimos de la funcin. Interpretar los resultados.Sean dos nmeros no negativos cuya suma es 10 y su producto mximo. Encuentra el valor de estos nmeros y el valor del producto mximo Para resolver este problema designemos a a y b las variables que representan a los nmeros buscados y sigamos los pasos del recuadro anterior La funcin a maximizar es EMBED Equation.DSMT4 (su producto mximo) La relacin entre a y b es EMBED Equation.DSMT4 (cuyasuma es 10) de aqu tenemos que EMBED Equation.DSMT4 La funcin queda, por lo tanto, EMBED Equation.DSMT4 Si derivamos P con respecto a b, tenemos EMBED Equation.DSMT4 Para encontrar los valores crticos igualamos la derivada con cero y resolvemos para b EMBED Equation.DSMT4 , de donde EMBED Equation.DSMT4 Para saber si EMBED Equation.DSMT4 corresponde a un mximo o mnimo de lafuncin P encontremos EMBED Equation.DSMT4 y por ser negativo para todos los valores de b entonces P tiene un mximo en EMBED Equation.DSMT4 . Entonces uno de los nmeros buscados es 5. Para encontrar el otro valor usamos la igualdad del punto (ii) EMBED Equation.DSMT4 (en este caso los dos nmeros resultaron iguales, aunque no siempre sucede as). Si queremos conocer el valor del producto mximousamos la igualdad del punto (i) EMBED Equation.DSMT4 Un granjero tiene 2400 pies de malla y desea cercar un campo rectangular que limita con un ro (no necesita cercar a lo largo del ro). Hallar las dimensiones del terreno y su rea mxima. Aqu es necesario hacer un dibujo para tener claro el rectngulo que se debe formar si x e y son las dimensiones del campo hay que tener en cuenta que slo se vana cercar tres lados de esta superficie (2y y x). Siguiendo los pasos del recuadro tenemos que La funcin a maximizar es EMBED Equation.DSMT4 (del terreno de rea mxima) La relacin entre x y y es EMBED Equation.DSMT4 (tiene 2400 pies de malla y desea cercar un campo rectangular ) de aqu tenemos que EMBED Equation.DSMT4 La funcin queda, por lo tanto, EMBED Equation.DSMT4 Si derivamos Acon respecto a y, tenemos EMBED Equation.DSMT4 Para encontrar los valores crticos igualamos la derivada con cero y resolvemos EMBED Equation.DSMT4 , de donde EMBED Equation.DSMT4 Para saber si EMBED Equation.DSMT4 corresponde a un mximo o mnimo de la funcin A encontremos EMBED Equation.DSMT4 y por ser negativo para todos los valores de y entonces A tiene un mximo en EMBEDEquation.DSMT4 La longitud del lado perpendicular al ro es de 600 pies. Para encontrar la longitud del otro lado (ii) EMBED Equation.DSMT4 . Con esto podemos decir que la longitud del lado del terreno paralelo al ro es de 1200 pies. Por ltimo, el rea que encierra el terreno es (igualdad del punto i) EMBED Equation.DSMT4 pies al cuadrado. Considera dos nmeros cuya suma es 15 y el producto de unode ellos, con el cuadrado del otro, es mnimo. Obtener el producto mximo de ambos nmeros. Sean p y q los dos nmeros. Siguiendo los pasos del recuadro tenemos que La funcin a maximizar es EMBED Equation.DSMT4 (el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro) La relacin entre p y q es EMBED Equation.DSMT4 (cuya suma es 15) de aqu tenemos que EMBED Equation.DSMT4 La funcin queda, por...