la matematica

CAPITULO 0. LOS NUMEROS REALES

1. Axiomática de los números reales

Sea un conjunto R, que verifica las siguientes propiedades conocidas como axiomas de los números reales

Axioma I. En R hay definidas dos operaciones, llamada suma y producto representadas (+) y (•) tales que R

con estas operaciones es un cuerpo conmutativo.

1) " a, b œ R

, a+bœ R

2) " a ,b ,c œ R , a + (b+c)=(a+b)+c
3) " a œ R, $ 0 œ R/ a+0=0+a = a
4) " a œ R, $ (-a) œ R/ a + (-a) = (-a) +a = 0
5) " a, b œ R ,

a+b=b+a

1) " a, b œ R

,

Respecto a la operación (.)
a. b œ R

2) " a ,b ,c œ R , a . (b.c) =(a,b).c
3) " a œ R, $ 1œ R/ a.1=1.a = a
4) " a œ R, $ a-1 œ R-{0} / a . a-1 = a-1 .a = 1
5) " a, b œ R,
6) " a, b,c œ R

a.b=b.a
, a .( b+c) =a .b+a .c

Axioma II. En R haydefinida una relación de orden total representada por § tal que verifica

II-a) " aœ R y siendo b § c ï a+b §a+c
II-b) Si b§ c y siendo 0 § a ïa .b § a.c
Axioma III o axioma del supremo. Todo subconjunto de R no vacío acotado superiormente (inferiormente)

posee supremo (ínfimo)
Todas las propiedades de los números reales o están entre las anteriores o se pueden deducir de ellas.

2.Consecuencias que se deducen de los axiomas
El conjunto de los números reales que comprenda los tres axiomas anteriores existe, pues se puede construir
completando el cuerpo Q. Enumeremos las distintas formas de llevar a cabo tal construcción:
1. A través de las sucesiones de Cauchy.
2. A través de pares de sucesiones monótonas convergentes.Por ejemplo

2

2  1 , 2  , 1.4 , 1.5 , 1.41 ,1.42 , 1.414 , 1.415.........
3. A través de la representación decimal de los números

2  1.4142135.......

Se demuestra que las diferentes formas de construir el cuerpo R son equivalentes. Es decir si se construyen
dos cuerpo R1 y R2 que verifiquen los axiomas anteriores. Estos cuerpos son isomorfos, lo cual significa que
existe entre ellos una biyección que conserva las operaciones sumay producto así como el orden.

Inyección de Q en R: Definamos una aplicación del cuerpo Q de los racionales en el cuerpo R de los reales

de la siguiente forma: " a œ Q

Q

f


a

 f(a)  a


R

siendo f (a) el numero real definido por la sucesión constantemente (a). La aplicación así definida se
demuestra fácilmente que es inyectiva, además conserva las operaciones suma yproducto. Luego es un
homomorfismo de Q en R.
Esta aplicación es compatible con la relación de orden, es decir si: a < b => f (a) < f (b). Este
homomorfismo inyectivo que conserva el orden nos permite identificar cada numero racional a con el
numero f (a) œ R, luego Q es un subcuerpo de R.
f no es sobreyectiva como se ve en el siguiente ejemplo :Sea f (a) un numero real tal que [f(a) ]2 =2 ,si f(a)
proviene de un numero racional a , se tiene a 2 = 2 , que no se verifica para ningún a racional.
Al conjunto R - Q se le llama conjunto de los números irracionales I. Los números irracionales son definidos
mediante sucesiones de Cauchy de números racionales.
Acabamos de ver la completitud de R. Es decir no toda sucesión de Cauchy de números racionales converge
en Q, pero si esconvergente en R
Propiedad arquimediana de los números reales. Se demuestra que para cada numero real a > 0 .Existe un

numero natural n tal que: n a > b
" a , b œ R ,si

0< a < b , $ n œN / n . a > b

Parte entera de un numero real: Se demuestra que para cada a œR existe un entero p œ Z tal que : p < a <

p+1. Siendo p la parte entera de a
Q es denso en R: " a , b œ R , $ q œ Q / a < q < b3. expresión decimal de un número real

Veamos ahora: Cuando un número real expresado decimalmente es racional o irracional. En el caso racional
o sea de la forma:

a
/ a  Z , b  Z  0
b
Si se efectúa la división de esos dos números enteros, se obtiene como cociente un número decimal que es
otra forma de escribir el número racional. Pues bien puede ocurrir o que el desarrollo...