La Media Y La Varianza De Las Distribuciones Discretas

1- LA MEDIA Y LA VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
MEDIA
La media llamada también valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de una distribución de probabilidad discreta es la media aritmética ponderada de todos los resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por suprobabilidad y sumando los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:

Donde:
Media, Valor Esperado, Esperanza Matemática o simplemente Esperanza
= Posible resultado
Probabilidad del posible resultado
VARIANZA
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se hallacalculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:

Nota: La varianza se expresa en unidades al cuadrado, por lo que es necesario calcular la desviación estándar que se expresa en las mismas unidades que lavariable aleatoria y que por lo tanto tiene una interpretación más lógica de la dispersión de los resultados alrededor de la media. La desviación estándar se calcula así: 
Ejemplo ilustrativo:
Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar del número de caras al lanzar tres monedas al aire.
Solución:
El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
Laprobabilidad de cada punto muestral es de 1/8
Se elabora las distribuciones de probabilidad y se realiza los cálculos respectivos. Estos resultados se presentan en la siguiente tabla:
| | | |
0 | 1/8 | 0·1/8 = 0 | (0-1,5)2 ·1/8 = 0,281 |
1 | 3/8 | 1·3/8 = 3/8 | (1-1,5)2 ·3/8 = 0,094 |
2 | 3/8 | 2·3/8 = 3/4 | (2-1,5)2 ·3/8 = 0,094 |
3 | 1/8 | 3·1/8 = 3/8 | (3-1,5)2 ·1/8 = 0,281 |Total | 1 | 1,5 | 0,750 |
Observando la tabla se tiene:
; 
Y calculando la desviación estándar se obtiene:

Los cálculos en Excel de la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar se muestran en la siguiente figura:

Interpretación:
El valor de significa que si se promedian los resultados del lanzamiento de las tres monedas (teóricamente, un número infinito de lanzamientos),se obtendrá 1,5.
Los valores de y miden la dispersión de los resultados de lanzar las tres monedas alrededor de su media.

2.- simbologías
3.- Desviación estándar
La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.
La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"
Varianza
la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) sedefine así:
Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.
En otras palabras, sigue estos pasos:
1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado). 
3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado.

Desviación estandar
La desviación estándar o desviacióntípica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media dedistancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los...