La Mierda

Estructura Algebraica

Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.

En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedadesoperacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica.

Una estructura algebraica es un objetomatemático formado por un conjunto no vacío combinado con una o varias leyes, eventualmente completadas por un orden o una topología, el todo satisfaciendo un cierto número de axiomas. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica

Ley De Composición Interna: Es la operación en la que, tanto en suselementos iniciales como en su resultado, sólo interviene un conjunto 'S único.

En el conjunto de los números naturales, la operación de adición es interna pues la suma de dos naturales siempre es otro número natural. 
En el conjunto la resta no es operación interna pues el resultado no siempre es natural, mientras que si nos atenemos al conjunto de los enteros sí se trata de una operacióninterna. 

Propiedades de las leyes de composición interna:

1.- Permutabilidad: Se dice que dos elementos son permutables si se verifica que:

Se verificará siempre que definamos una ley de composición interna que posea la propiedad conmutativa.

2.- Elemento neutro: En un conjunto A, para el que se ha definido una ley de composición interna ⊤, se dice que “e” es el elemento neutro conrespecto a esta ley, cuando se verifica que cualquier elemento del conjunto A operado con e da como resultado el mismo elemento de A.

3.- Elemento simétrico: Se dice que un elemento de un conjunto A tiene por elemento simétrico o complementario a otro elemento “a” del mismo conjunto, cuando definida en el mismo una ley de composición interna ⊥ se verifica que:

Si un elemento admite simétrico sedenomina “sintetizable”.

4.- Propiedad asociativa: Una ley de composición interna ⊤ es asociativa, cuando para todas las ternas de elementos a, b y c de un conjunto A se verifica que:

5.- Propiedad distributiva: Dado un conjunto A en el que se han definido dos operaciones internas ⊤ y ⊥, se dice que la ley de composición ⊤es distributiva respecto a la ley de composición ⊥ por la derecha y sólopor la derecha, cuando para una terna de elementos a, b y c del conjunto A se verifica:

Será distributiva por la izquierda si se verifica:

Ley De Composición Externa: Se llama ley de composición externa a las operaciones definidas entre elementos de distintos conjuntos.
La multiplicación y división de un segmento por un número natural es ley de composición externa. Una ley de composiciónexterna definida en A con operadores de B es toda función ó aplicación de en A.
Según las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras ó sistemas axiomáticos.

Grupo Abeliano: Un grupo abeliano es una estructura algebraica G que es grupo pero donde la operación binaria es conmutativa.

Dada una estructura algebraica sobreun conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: "". Se dice que la estructura  es un Grupo abeliano con respecto a la operación  si:

1.  tiene estructura algebraica Grupo
2.  tiene la Propiedad conmutativa
Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henryk Abel. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no...