la monda

1.1 OPERACIONES CON MATRICES

En esta sección se definen e ilustran la adición y sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar y la multiplicación de matrices entre sí.
Como una matriz es una disposición de números reales, en lugar de uno solo, algunas propiedades de las operaciones análogas para números reales no son aplicables con matrices.



1.1.1 ADICION YSUSTRACION DE MATRICES

“La suma o diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales. Es decir, sí A = [aij ] y B = [bij] Son dos matrices del mismo tamaño, entonces:
A + B = [ aij + bij] y A - B = [aij - bij]”1
Ejemplo Dadas las matrices
A = B =Hallar i) A + B ii) A - B iii) B - A

Solución
i) A + B = =
ii) A - B = =
iii) B - A = =
Ejemplo
+_ = =
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1.1.2 MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
“Consiste en la operación de multiplicar una matriz por un número real, lo que equivale a multiplicar cada elemento de la matriz pordicho número. Es decir, sí A = [aij] es una matriz mxn y k es un escalar, entonces k A = [k aij].”2

Ejemplo
Sí A =

Se tiene que 3 A = 3* =
=

Ejemplo Una ensambladora ensambla tres modelos de autos en tres colores diferentes. La capacidad de producción (en cientos) de la planta de Bogotá está dada por la matriz A y la de la planta deMedellín por la matriz B.
a) ¿Cuál es la capacidad total de producción en las dos plantas?
b) ¿Cuál será la nueva producción en la planta de Medellín sí se decide disminuirla en un 40%?

Solución:
a) La producción combinada (en cientos) en las dos plantas está dada por la suma de las matrices A y B. Esto es:

Observe que las dos plantas en total ensamblan 500 autos modelo I de coloramarillo, 400 autos modelo II de color rojo, 200 autos modelo III de color lila, etc.

b) Si la producción en Medellín se disminuye en un 40% la nueva producción (en cientos) está dada por la matriz B - 0,4B = 0,6B, así:
0,6B = 0,6 =
En consecuencia, se ensambla en la planta de Medellín 180 autos modelo I color rojo, 60 autos modelos II color lila, etc.
Nota: Las matrices del ejemplo sedenominan matrices de producción
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1.1.3 MULTIPLICACION DE MATRICES

Antes de definir el producto entre dos matrices, definamos el producto de una fila por una columna.

Definición: El producto de una fila A i. = por una columna
A.j = está dado por:
Ai . x A. j = (aij x a1j ) + (a i 2 x a 2 j ) + ... + (a i n x a n j ) =
EjemploDada la matriz A = se tiene que:
A1. A.2 = = (-2) (5) + (5) (3) + (4) (-4) = -10 + 15 -16 = -11

A3. A.1 = = (2) (-2) + (-4) (1) + (3) (2) = - 4 - 4 + 6 = -2
Observe que el producto de una fila por una columna solo es posible cuando tienen igual número de elementos, y a demás que el resultado obtenido es siempre un escalar (número real).

DEFINICION: Dadas dos matrices A = (aij )de tamaño mxn y B = ( bj k ) de tamaño nxp, se define el producto AB como una matriz C = (cik ) de tamaño mxp, donde cada Cik = Ai. B.k (producto de la i - ésima fila de A Por la k - ésima columna de B)

Nótese que para que el producto AB sea posible se requiere que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

Ejemplo Dadas las matrices
A = y B =
Hallar:a) AB b) BA
Solución:
a) Como el número de Columnas de A es igual al número de filas de B, el producto AB se puede realizar. Para esto, se calcula cada uno de los elementos de la matriz producto, que será de tamaño 3x2
C11 = A1. B.1 = (5) (8) + (-2) (2) = 40 - 4 = 36
C12 = A1. B.2 = (5) (-4) + (-2) (3) = -20 - 6 = -26
C21 = A2. B.1 = (4) (8) + (3) (2) = 32 + 6 = 38
C22 =...