la naturaleza

II Espacios vectoriales
Unidad de aprendizaje:
Álgebra

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a
partir de un conjunto no vacío, una operación interna llamada
suma, definida para los elementos del conjunto y una
operación externa llamada producto por un escalar.

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EL ESPACIO VECTORIAL
 
El concepto de espacio vectorial puede ilustrarse en elplano
cartesiano.
Llamamos plano cartesiano real al plano "de la geometría
analítica", es decir al producto cartesiano R X R de los reales
por sí mismos. Los elementos de R X R son las parejas
ordenadas (a, b) de números reales. Estas se representan
como puntos:

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 Escribimos

en lugar de R X R y, en general, en lugar de
R X ... X R (n factores).
 
A loselementos de , es decir, a los puntos del plano le
llamaremos ahora vectores y, a los números reales les
llamaremos escalares.
En introducimos las operaciones siguientes:
Suma de vectores:
)
Producto de un escalar por un vector:
(, ).
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(, )
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 Al

referimos a un vector diremos que es la primera coordenada
(o abscisa) y que es la segunda coordenada (u ordenada) delmismo.
La suma de dos vectores es el vector cuyas coordenadas son
la suma de las coordenadas respectivas de los sumandos.
El producto de un escalar por un vector es el vector cuyas
coordenadas son el producto del escalar por las coordenadas
del vector
Ejemplos:

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Tenemos también que:

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Interpretación geométrica de la adición
Recordemos losdos siguientes resultados:
1. Si las diagonales de un cuadrilátero se intersecan en su
punto medio, entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo:

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 2.

Si y son dos puntos del plano, entonces el punto medio del
segmento es:
 

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 Interpretación

geométrica de la adición de vectores

Sean , y , es decir, .
Consideremos el cuadriláteroOPRQ:

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 El

punto medio de es:

El punto medio de es:

Se observa que las diagonales tienen el mismo punto medio.
Por tanto, el cuadrilátero es un paralelogramo.

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 Si

al representar los vectores en el plano dibujamos flechas que
vayan del origen O al punto respectivo, como se ilustra en la
figura, podemos describir la adicióndiciendo que la suma
de dos vectores P y Q es el vector determinado por la
diagonal del paralelogramo de lados .

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 Interpretación

del producto de un escalar por un vector.

Recordemos dos resultados:
1. La distancia d(A1, A2) entre los puntos y , es:
 
Si A, B y C son tres puntos del plano, entonces B está en el
segmento Ac si y solamente si:

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 El

significado geométrico del producto de un escalar por un
vector P = (a, b).
Si P = O = (0, 0), entonces O = O para toda .
Si y sea Q= PY sea Q = P. Demostraremos que:
, P está en el segmento .
, Qestá en el segmento .
, O está en el segmento .

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 Resolver:

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 El

espacio vectorial

Elespacio vectorial consta del con junto de todas las
colecciones ordenadas de n números reales.

y las operaciones siguientes:

A los elementos de los llamaremos vectores y los a los números
reales, escalares.

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 Propiedades:

1. La adición es asociativa, es decir, si A, B y C son vectores
en , entonces:

2. La adición es conmutativa, es decir, si A, B
vectores en, entonces:

y C

son

3. Existe un elemento neutro (único) en para la adición. Es el
vector (0,0,….,0) que, cuando no haya confusión, se
expresa simplemente con 0.

para cualquier A en .
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 4.

Existe en el inverso aditivo (también llamado el negativo) de
cada vector de Si es un vector, al inverso aditivo se le
denota .

Si entonces . La propiedad de...