La Parábola

Secciones Cónicas
1. Parábola

La Parábola se dene como el conjunto de puntos que equidistan de un punto F llamado Foco y de una recta llamada Directriz. En otra palabras, un punto U (x, y) pertenecerá a una Parábola si la distancia de U al Foco F es la misma que la de U a la recta Directriz, donde el Foco F es un punto dentro de la linea curva y la Directriz es una recta que se encuentrafuera de la curva. Figura 1:

Para denir la Parábola deberemos tener presentes los siguientes términos (Partes de la Parábola, Ver gura 1): 1.

Eje de Simetría. Denominado también como Eje Focal o simplemente
con el Eje de Simetría.

Eje de la Parábola, es la recta que divide simétricamente a la Parábola, pasa por el Foco y es perpendicular a la Directriz.

2.

Vértice. Es el punto quese encuentra en la intersección de la Parábola
1

3.

Distancia Focal. Es la distancia que hay entre el Vértice y el Foco. Al ser
el Vértice un punto sobre la Parábola, podemos concluir por denición, que la distancia del Vértice al Foco es la misma que la del Vértice a la Directriz, indicada por p.

Con ayuda de los vectores, podemos expresar la denición de la Parábola de la siguientemanera:
u−f = u−w

(1)

donde:
u es el vector correspodiente a un punto U (x, y) sobre la Parábola. f es el vector que corresponde al Foco F . w es el vector que corresponde a un punto W que es el resultado de proyectar U sobre la Directriz.

A partir de la Ecuación (1) y la denición de la Parábola y sus partes, analicemos el siguiente caso: Sea una Parábola S cuyo Eje de Simetría esparalelo al Eje Y y V (h, k) el Vértice de la misma, entonces: 1. F (h, k + p), El Foco que esta a una distancia p del Vértice, dado que el Eje Focal es paralelo al Eje Y el punto solo varia en la altura con respecto al Vértice. 2. y = k −p, Es la Directriz que se encuentra a p unidades alejada del Vértice 3. U (x, y), Un punto cualquiera sobre la Parábola S. 4. W (x, k − p), El resultado de proyectar Usobre la Directriz, que por Geometría sabemos que solo se diferenciara de U en la altura que en el caso de W esta dada por k − p por ser un punto sobre la Directriz.

2

Sustituyendo estos valores en la Ecuación (1):
(x, y) − (h, k + p) (x − h)2 + (y − (k + p))2 = (x, y) − (x, k − p) = (x − x)2 + (y − (k − p))2

(x − h)2 + (y − (k + p))2 = (x − x)2 + (y − (k − p))2 (x − h)2 + (y − (k +p))2 = 02 + (y − (k − p))2 (x − h)2 + (y − (k + p))2 = (y − (k − p))2 (x − h)2 + y 2 − 2(k + p)y + (k + p)2 = y 2 − 2(k − p)y + (k − p)2 (x − h)2 = y 2 − 2(k − p)y + (k − p)2 − y 2 + 2(k + p)y − (k + p)2 (x − h)2 = −2(k − p)y + (k − p)2 + 2(k + p)y − (k + p)2 (x − h)2 = −2ky + 2py + k 2 − 2pk + p2 + 2ky + 2py − k 2 − 2pk − p2 (x − h)2 = −2ky + 2py − 2pk + 2ky + 2py − 2pk (x − h)2 = 2py − 2pk + 2py −2pk (x − h)2 = 4py − 4pk (x − h)2 = 4p(y − k)

(2) La Ecuación (2) se cumple en general para cualquier Parábola con Eje de Simetría paralelo al Eje Y. Donde si p > 0 entonces la Parábola se abrirá hacia arriba y si p < 0 se abrirá hacia abajo.

A continuación analicemos los siguientes ejemplos.

1. Sea 20x2 + 20x − 8y + 13 = 0 la Ecuación de una Parábola. Obtener la Distancia Focal, elFoco, la Ecuación de la Directriz y el Vértice.

Solución
Por inspección se ve que la Parábola se abre hacia arriba. Completando

3

Figura 2:

cuadrados en la Ecuación obtenemos:
20x2 + 20x − 8y + 13 = 0 20x2 + 20x = 8y − 13 8y − 13 x2 + x = 20 1 2 8y − 13 1 2 x +x+( ) = + ( )2 2 20 2 1 2 8y − 13 1 (x + ) = + 2 20 4 1 2 8y − 13 5 (x + ) = + 2 20 20 1 2 8y − 13 + 5 (x + ) = 2 20 1 2 8y − 8(x + ) = 2 20 41 2 8 (x + ) = ( )(y − 1) 2 20 1 2 2 (x + ) = ( )(y − 1) 2 5 1 2 2 (x − (− )) = ( )(y − 1) 2 5

Observemos que la Ecuación del ejercicio 1, tiene ahora la misma forma que la Ecuación (2), al comparar las Ecuaciones, sabemos que (Ver Figura 2) :

a ) La Distancia Focal es p =

1 10 ,

4p =

2 5 9 10 ,

b ) La Ecuación de la Directriz es y =

y =1−

1 10

1 c ) El...