La Parabola

PARÁBOLA
DEFINICIÓN. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y de un punto fijo. La recta fija se llama directriz y el punto fijo se llama foco. Observa la figura:

Las ecuaciones de la parábola tienen un término cuadráticos y uno o dos términos lineales los cuales varían de acuerdo con el tipo de la parábola. La parábola puede ser horizontal o vertical;con el centro en el origen o fuera de él. En el presente curso estudiaremos solamente las parábolas con centro en el origen. El siguiente cuadro te muestra los tipos de ecuaciones según la posición de la parábola. PARÁBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN. POSICIÓN ECUACIÓN HORIZONTAL DERECHA
HORIZONTAL IZQUIERDA VERTICAL HACIA ARRIBA VERTICAL HACIA ABAJO Y 2 = 4 pX Y 2 = −4 pX X 2 = 4 pY X 2 = −4 pYElaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut

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EJERCICIOS RESUELTOS
1. Escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisface las condiciones siguientes: a) Foco en (3,0).
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

y = 4 (3) x

2

y –12 x = 0

2

b) Foco en (0,–3).

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 23 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

x = - 4(3)y

2

x + 12 y = 0

2

c) La directriz es x + 4 = 0.

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

x+4=0 p=4

x = -4 y = 4(4) x
2

y – 16 x = 0

2

Elaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut

2

d) La directriz es y –4 = 0.

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 45 6 7 8 -2 --4 -6

x = -4(4) y

2

x +16y=0

2

e) La longitud del lado recto es 10 y la parábola abre hacia la derecha.

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

LLR = 4p y = 4 (5/2) x
2

p = 10/4 y = 10 x
2

y –10 x = 0

2

f) La longitud del L.R. es 8 y la parábola abre hacia arriba

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

LLR = 4p

p=2 2 x = 4(2) y

x2 –8y = 0

g) El foco esta en el eje X y la parábola pasa por el punto (3,4)

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

y = 4px 16 = 4p(3) p = 16/12 y2 = 4 (4/3)x 3y2 – 16 x = 0 Elaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut 3

2

h) La parábola abre hacia la izquierda ypasa por el punto (–3,4)

Solución:

8 6 4 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

y2 = -4px

16 = -4p(-3) y = -4 (4/3)x
2

p = 4/3 3 y2 + 16 x = 0

2.

En los siguientes incisos hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para cada una de las parábolas dadas: a) y =4x
2

b) x = –10y

2

c) 2y =7x

2

d) y+3x=0

2

e) x –4y=0

2

f) 2x +3y=0

2

Soluciones:
a) y =4x : Es una parábola horizontal positiva con:
2

V (0,0) ; F ( 1,0) ; Directriz x+1 = 0 y LLR = 4
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

b) x = –10y Es una parábola vertical hacia abajo con

2

V (0,0); F( 0, -5/2); Directriz 2y-5 =0 y LLR = 10
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2--4 -6

Elaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut

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c) 2y =7x : Es una parábola horizontal positiva con:

2

V (0,0); F(7/8,0) ; Directriz 8x +7=0 y LLR = 7/2
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

d) y +3x=0

2

Es una parábola horizontal negativa con:
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

V(0,0); F(-3/4,0);Directriz 4x– 3 =0 y LLR= 3

e) x –4y=0 :Parábola vertical hacia arriba con:

2

V(0,0); F(0,1) ; Directriz y+1=0 y LLR = 4
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

f)

2x +3y=0: Es una parábola vertical negativa x2 = - 3/2 y p= 3/8 ; V(0,0) ; F (0,-3/8) ; directriz 8y-3=0;LLR=3/2
8 6 4 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 --4 -6

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Elaborado por...