la parabola

6º Ingeniería - Matemática “B”– Liceo Nº 3 – Nocturno - Prof.: Marcelo Valenzuela

Ecuación general de una parábola
Sea r) y = mx + n y F(α,β), una recta y un punto de un
plano.
Hallemos laecuación de la parábola de directriz r y foco F.
Según definición de parábola, todos los puntos P(x,y) de la
parábola son los que cumplen:
d(P,r) = d(P,F)
Aplicando las “formulas” de distancia:

mx− y + n
m 2 + ( −1)

2

=

( x −α ) + ( y − β )
2

2

⇒

elevando al cuadrado ambos miembros....

⇒

( mx − y + n ) 2 =
m +1
2

( x −α ) + ( y − β )
2

2

⇒

operando.....⇒

m 2 x 2 + y 2 + n 2 − 2mxy − 2ny + 2nmx
= x 2 − 2α x + α 2 + y 2 − 2 β y + β 2 ⇒
m2 + 1

⇒ m2 x 2 + y 2 + n 2 − 2mxy − 2ny + 2nmx = ( x 2 − 2α x + α 2 + y 2 − 2 β y + β 2 )( m 2 + 1) ⇒
⇒ x2 + m 2 y 2 + 2mxy − 2α ( m 2 + 1) x − 2 β ( m 2 + 1) y + 2ny − 2nmx − n 2 + ( m 2 + 1)(α 2 + β 2 ) = 0 ⇒
⇒ x 2 + 2mxy + m 2 y 2 +  −2α ( m 2 + 1) − 2nm  x +  −2 β ( m 2 + 1) + 2n  y + ( m2+ 1)(α 2 + β 2 ) − n 2 = 0

Observación:
La ecuación de toda parábola es de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

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Si la ecuación la multiplicamos por unreal (k), obtenemos otra equivalente, podemos afirmar
entonces que la ecuación de toda parábola de foco F(α,β) , y directriz r) y = mx + n, es de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Con:
A=kB = 2mk

C = m2k
D =  −2α ( m 2 + 1) − 2nm  .k
E =  −2 β ( m 2 + 1) + 2n  .k
F = ( m 2 + 1)(α 2 + β 2 ) − n 2  .k

Observamos:
B2 – 4AC = (2mk)2 – 4km2k = 4m2k2 – 4m2k2 = 0Conclusión:
Si Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, es la ecuación de una parábola ⇒ B2 – 4AC = 0
Observación.
Conociendo la ecuación de una parábola en forma general (lo que implica conocer “A”, “B”,“C”,
“D”, “E” y F”), podemos hallar los elementos (α, β, m y n) resolviendo el sistema correspondiente.
Ejemplo:
Sea P una parábola de ecuación:
2x2 + 12xy + 18y2 - 16x - 88y + 92 = 0

2=k
12...