la parabola

Obtención de la ecuación general de la parábola
Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma:
(x – h)2 = 4p(y – k)
Desarrollando resulta:
x2 – 2hx + h2 = 4py – 4pk
x2 – 2hx + h2 – 4py + 4pk = 0
Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención degeneralizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:
Ax2 – 2Ahx + Ah2 – 4Apy + 4Apk = 0
Reordenando:
Ax2 – 4Apy – 2Ahx – Ah2 + 4Apk = 0
Ax2 – 4Apy – 2Ahx + A(h2 + 4pk) = 0
Haciendo que los coeficientes de las variables sean:
–4Ap = B
–2Ah = C
A(h2 + 4pk) = D
Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda
Ax2 + Bx + Cy + D = 0
que es la ecuación de una parábola horizontal en su formageneral.
Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:
Ay2 + Bx + Cy + D = 0
 
Ejemplo I
Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
Desarrollo
Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz esparalela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábolacuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:
(x – h)2 = –4p (y – k)
De las coordenadas del vértice se obtiene:
h = –4
k = 2
Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:
p = 5 – 2
p = 3
Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:
(x – h)2 = –4p(y – k)
(x – (–4))2 = –4 (3) (y – (+2))
(x + 4)2 = –12(y – 2)
(x + 4)2 = –12y + 24Desarrollando el binomio al cuadrado
(x + 4) (x + 4) = x2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 = +12y – 24
Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:
x2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0
x2 + 8x + 12y – 8 = 0
Que es la ecuación buscada.
Calcular los parámetros de la parábola  si nos dan su ecuación general.
Reducción de la ecuación de una parábola
Dada una ecuación del tipo
Ax2 + Bx + Cy + D = 0
o del tipoAy2 + Bx + Cy + D = 0,
siempre es posible reducir la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.
Ver: Cuadro resumen
 
Ejemplo  II
Dada la ecuación de la parábola
y2 + 8y – 6x + 4 = 0,
encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.
Una forma de obtener los elementos solicitados consisteen reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.
Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y2) y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)
y2 + 8y = 6x – 4
Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomiocuadrado perfecto:
En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico  del factor lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:
8/2 = 4   y   42 = 16  (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)
Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación:
y2 + 8y + 16 = 6x – 4 + 16
Simplificando:
y2 + 8y + 16 = 6x + 12
Factorizando resulta:
El trinomiocuadrado y2 + 8y + 16  que se convierte en cuadrado de binomio  (y + 4)2
y2 + 8y + 16  =  (y + 4)2
Y el segundo miembro queda
6x + 12 = 6(x + 2)
Entonces, la ecuación queda así:
(y + 4)2 = 6(x + 2)
Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente....