La Parabola

GEOMETRIA ANALITICA
2012
La Parábola
Trabajo de Investigación

GEOMETRIA ANALITICA
2012
La Parábola
Trabajo de Investigación


Introducción
El presente trabajo trata acerca de “La Parábola” cuya palabra es un término que proviene del latín parabŏla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego.
Es un concepto matemático sobre la forma curva de una línea dentro de un planocartesiano, esta puede ser de 4 formas: hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda o a la derecha y puede estar en el origen del eje de las “Y” o sobre el eje de las “X” y también puede estar fuera del origen. Para ello tiene 4 formulas necesaria para encontrar cada uno de los casos así como el nombre de cada uno de las partes que integran la parábola para tener un mejor conocimiento de este temageométrico.

LA PARABOLA
En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente delas rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamadadirectriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco. |

ELEMENTOS DE LA PARABOLA
a) Foco: es un punto singular, por lo general no pertenece a la curva. Respecto de foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada “directriz”. Se determina con la letra “F”

b) Directriz: se aplica a la línea, figura o superficie que determina las condiciones degeneración de otra línea, figura o superficie; es la recta fija de la parábola que, junto con el foco sirve para determinarla. Usa la letra “D”
c) Parámetro: es la distancia que existe entre el foco y la directriz, se designa con la letra “p”.

d) Eje: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

e) Vértice: es el punto de intersección de la parábola con su eje.f) Radio vector: es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el.

A continuación se muestra una imagen con los elementos de la parábola identificados gráficamente:

ECUACIONES DE LA PARABOLA
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su ejecoincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro “a” especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Aplicando una sustitución decoordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2, |
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma. |
Si la parábola es horizontal, se obtienenecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma. |

Ecuación involucrando la distancia focal
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco...