La paradoja de banach-tarsky

La Paradoja de la Creaci´n o Analisis de la Demostraci´n del Teorema de o Banach-Tarski
Por: Josu´ Moreno Mej´ e ıa Asesor: Dr. Jorge Eduardo Mac´ D´ ıas ıaz Universidad Aut´noma de Aguascalientes o Centro de Ciencias B´sicas a Departamento de Matem´ticas y F´ a ısica

Resumen Muchas veces hemos pensado si es posible a partir de un objeto simple, obtener mas objetos con las mismas o distintascaracteristicas que nuestro objeto base. La mayoria de las veces, al tomar un objeto lo transformamos en uno o mas objetos diferentes, pero ¿realmente es posible obtener dos objetos iguales al que usamos para la transformacion?. La paradoja de Banach-Tarski nos muestra el como es posible a partir de una esfera, dividirla y obtener dos esferas de equivalentes a la primera, despu´s de unir laspiezas de la descomposicion. e

1.
1.1.

Introduccion
Rese˜ a Hist´rica n o

El resultado o paradoja de Banach-Tarski fue descubierto en 1924 por Stefan Banach y Alfred Tarski. La idea principal del resultado es que teniendo una esfera, podemos cortarla y dividirla en un numero finito de partes, las cuales podemos reagrupar para obtener dos esferas equivalentes a la primera.

2.

An´lisisa

Teorema 2.1. Banach-Tarski Sea S una esfera de radio r y vol´men V . Entonces, es posible dividir a S y u reensamblarla formando ahora dos esferas S1 y S2 con radio r y vol´men V u

2.1.

Conjuntos Congruentes

Definici´n 2.2. Congruencia o Sean A, B conjuntos, decimos que A es congruente a B si es posible llegar de A a B por medio de rotaciones y traslaciones. Observaci´n 2.3. Observeque la congruencia es distinta de una funci´n de o o correspondecia 1 − 1 Ejemplo 2.4. Los conjuntos A = {1, 2, 3, ...} y B = {2, 4, 6, ..} tienen funcion de correspondencia 1 − 1 y no son congruentes. Demostraci´n. Sean A = {1, 2, 3, ...} y B = {2, 4, 6, ..}. Consideremos f : A → o B dada por f (x) = 2x. Sean x, y ∈ A luego si f (x) = f (y) entonces 2x = 2y por lo que x = y asi, A y B tienencorrespondencia 1 − 1. Note que no se puede expresar A como B por medio de traslaciones en la recta real, luego no son congruentes. Ejemplo 2.5. Los conjuntos A = {1, 2, 3, ...} y B = {5, 6, 7, ..} son congruentes, pues podemos expresar a A como B si lo trasladamos 4 unidades en la recta real hacia la derecha.

2.2.

Descomposici´n Finita o

Definici´n 2.6. Sea X un objeto, si es posible dividir Xen un numero finito o de partes disjuntas, y ´stas se pueden reordenar en un nuevo objeto Y entonces e X es equivalente por descomposici´n finita a Y o Proposici´n 2.7. La Transitividad vale para la descomposicion finita. Es decir, o Si X es equivalente a Y y Y es equivalente a Z entonces X es equivalente a Z

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Demostraci´n. Trivial. Si X es equivalente a Y entonces podemos descomponer o a Xy reordenarlo formando a Y pero Y es equivalente a Z entonces descomponiendo Y se puede obtener Z. Como con X se puede formar Y entonces tambien se puede formar Z as´ X es eqivalente por descomposici´n finita a ı, o Y Ejemplo 2.8. N y N \ {x} son equivalentes por descomosicion finita. Demostraci´n. Sean B = {5, 10, 15, ...} y A = N \ B i.e. A = {1, 2, 3, 4, 6, 7, ...}. o Note que A y B son disjuntospues A ∩ B = ∅ y A ∪ B = N. Sea ahora B = {10, 15, 20, ...}. Claramente B y B son congruentes pues podemos llevar B a B por medio de una traslaci´n de 5 unidades. Note que A ∪ B y A ∪ B o son congruentes y adem´s equivalentes por descomposicion finita a Observaci´n 2.9. A la tecnica que usamos en la demosraci´n anterior la llao o maremos traslaci´n al infinito. o 2.2.1. Equivalencia de un circuloSea C un circulo de radio 1, y 0 un punto del circulo. Nos posicionamos en el punto 0 y hacemos una rotaci´n lev´gira de una unidad, posicionandonos o o ahora en el punto 1. Continuando este proceso formamos el conjunto de puntos B = {0, 1, 2, ..}. Producimos el conjunto B que es el resultado de girar una unidad los puntos de B. Claramente B y B son congruentes. Definimos el conjunto A = {C \...