La Parábola

Propósito

¿Qué aprenderás?

A encontrar las diferentes formas de la ecuación de la parábola, los elementos característicos de ésta, y cómo graficarla.

¿Cómo lo lograrás?

Para lograr lo anterior se hará un análisis de la definición de la parábola, se te mostrarán ejemplos, y se te pedirá que resuelvas diversos problemas y ejercicios que
aparecerán a lo largo de esta unidad.

¿Para quéte va a servir?

Lo anterior te servirá para el estudio del movimiento parabólico, del funcionamiento de los espejos parabólicos y otros sistemas que se estudian en la física; también
te será útil para modelar algunas situaciones de nuestra vida diaria, así como para
entender los conceptos de extremos (máximos y mínimos) absolutos.

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4 .1
Análisis de la parábola

Una personaescondió un fabuloso tesoro en el jardín de su casa
Para este tema necesitas recordar
pero no dejó mapa alguno, solamente las siguientes indicaciones:
“Si quieren mi tesoro tendrán que buscarlo en un lugar que se enI Cómo localizar las coordenadas del
cuentra a la misma distancia de la barda localizada al sur del jardín
punto medio de un segmento.
y del árbol bajo cuya sombra me sentaba por lastardes a leer mis noI Cómo calcular la distancia entre dos
velas favoritas”. Cuando la persona falleció, su cónyuge llamó a su
puntos, y de un punto a una línea
nieto que estudiaba el bachillerato y le enseñó las indicaciones
recta.
mencionadas. Motivado el nieto por encontrar dicho tesoro, invesI Expandir un binomio al cuadrado y
tigó y se dio cuenta de que la geometría analítica le seríaútil para
descomponer en factores trinomios
localizar el tesoro. Emocionado le dijo: “Yo lo encontraré abuelita”.
cuadrados perfectos.
¿Cuál es el lugar donde está el tesoro? ¿Será único ese posible
lugar?
El nieto procedió de esta forma: en un plano a escala de una vista superior del
jardín dibujó una línea recta, que denotó con L, para representar la barda mencionada, y mediante un punto,que denotó con F, representó la posición del árbol.
Observó que si trazaba desde el punto F un segmento rectilíneo perpendicular a
la barda, una posible solución del problema era el punto medio de dicho segmento.
A este punto lo denotó con V.
Sabiendo que la distancia de una línea recta (barda) a un punto corresponde a la
Figura 4 .1
longitud del segmento perpendicular que va del punto a lalínea recta, eligió un Puntos donde
punto D sobre la línea recta considerada, y a partir de éste trazó un segmento has- posiblemente se encuentra
ta un punto P que cumplía con las indicaciones dejadas por su abuelito. Con ello se el tesoro
dio cuenta de que el posible punto no era
único, así que localizó otros puntos que
también cumplían con la condición señalada, según se muestra en la Figura4.1.
En su investigación, el nieto encontró
P
que para localizar los puntos que cumplían las condiciones donde podría estar
el tesoro, se utilizaba el siguiente procedimiento: se traza un segmento de línea
recta desde el punto F hasta un punto D
Árbol
de la línea L, después se dibuja la mediaF
triz (línea perpendicular al segmento que
pasa por su punto medio) del segmento
FD y finalmentese levanta una línea recta
V
L
D
Barda
perpendicular a la línea L por D, observando que el punto común de esta línea per-

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UNIDAD 4

La parábola

pendicular y la mediatriz trazada es uno de los puntos buscados. Grande fue su
sorpresa cuando descubrió que los diferentes puntos que localizó correspondían a
una curva conocida con el nombre de parábola.

4 .1 .1

Ecuaciónordinaria de la parábola

Como te diste cuenta, en el relato anterior se describió una forma de localizar puntos de una parábola: conocida una línea recta (línea recta L) y un punto fijo del
mismo plano (punto F ), cualquier punto P perteneciente a la parábola satisface la
ecuación
dPF = dPD ,
en la que dPF representa la distancia entre los puntos P y F, y dPD representa la distancia del punto...