La parábola

La Parábola
La parábola como lugar geométrico
En el apartado Secciones cónicas hemos que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo P y de una recta d que no pasa por él. Es decir:
P es un punto de parábola si y solo si d(P,F) = d(P, d)

Recordemos que la distancia desde un punto a la una recta es la longitud del segmento perpendicular
trazado porel punto a la recta

Elementos fundamentales de la parábola
Al punto F se le llama foco y a la recta d directriz. El segmento PF es el radio vector del punto P
A la distancia del foco a la directriz se le llama parámetro, y lo designaremos mediante la letra p
El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
El punto de intersección del eje con la parábola recibeel nombre de vértice. El vértice es el punto
medio del segmento perpendicular a la directriz que parte del foco, ya que es un punto de la
parábola y, por tanto, ha de equidistar del foco y de la directriz.

Figura 1

Excentricidad de la parábola
Para poder definir la excentricidad de la parábola, necesitamos apoyarnos en una definición
más general de las cónicas: una cónica es (también) el lugargeométrico de los puntos del plano,
tales que la razón de las distancias de un punto fijo llamado foco, y una recta fija llamada
directriz, es constante. Esta razón recibe el nombre de excentricidad de la cónica.
Según sean los valores de la excentricidad se obtienen las diferentes cónicas. Para el caso en que
la excentricidad sea 1, la razón de distancias es 1, por lo que el punto equidista delfoco y de la
directriz, luego estamos ante una parábola. Es decir, la parábola tiene excentricidad igual a
1.

Tangente y normal en un punto de la parábola
Demostraremos dos propiedades importantes de la tangente y la normal a la parábola en un punto P de la
misma

La bisectriz del ángulo exterior que forma el radio-vector
de un punto P cualquiera con la normal a la directriz es
tangente a laparábola
Vamos a demostrar que la recta que pasa por P y es la bisectriz de FPA es tangente a
la parábola en (Figura 2).

Figura 2

Figura 3

Para demostrar que dicha recta es tangente a la parábola nos bastará demostrar
que el único punto en común que tienen la bisectriz y la parábola es P. Si P' es
otro punto de la bisectriz (Figura 3) tendremos:
Como PA = PF la bisectriz de FPA es mediatriz de AF. Enconsecuencia P'A =
P'F
Además P'B < P'A por ser P'B perpendicular a la directriz d
Se deduce de los dos puntos anteriores que P'B < P'F.
En consecuencia P' no está en la parábola ya que P' no equidista de la
directriz y del foco

Inversamente: la tangente a la parábola en cualquier punto
P es la bisectriz del ángulo exterior que forma el radiovector de un punto P cualquiera, con la normal a ladirectriz
Considera la Figura 4. Sea t la recta tangente a la parábola. Queremos demostrar que

los ángulos a y b son iguales.

Figura 4

Figura 5

Empezaremos por demostrar que el simétrico del foco F, respecto a la recta t es A
(siendo A pie de la perpendicular a la directriz (d) por el punto P), si y sólo si la recta t
es tangente a la parábola (Un lector de esta Web, Rodrigo Velasco, me hizonotar un
fallo en la demostración que subsano).
a) Condición necesaria. Supongamos que que el simétrico de F es A. Si t no fuera
tangente a la parábola tendría al menos otro punto P' sobre la recta t y común con la
parábola. Pero esto no es posible, ya que si P' está en la parábola d(P',d) = P'F. Por otro
lado como P' está en la recta t, P'A = P'F, y en consecuencia d(P',d) = P'A, lo cual sólo
puedeocurrir si P y P' coinciden.
b) Condición suficiente. Sea t una recta tangente a la parábola por el punto P. Puesto
que P es un punto de la parábola se cumple que PA = PF. El simétrico de F respecto a t
es A, ya que si no lo fuera (Figura 5), sería A' o A''. Supongamos que el simétrico es A''
(para el caso de A' la demostración sería la misma). Entonces como PF = PA y además
PF = PA'' por ser...