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Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera prácticavamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

El concepto de razón de cambio de una función.
La razón de cambio de una función se refiere a la magnitud con la cual
la función cambia a lo largo del eje x, o de la variable independiente.
Para una recta horizontal y = c; donde “c” es una constante, como el
valor de “y” siempre será el mismo, en estecaso no hay cambio del
valor de la función al avanzar sobre el eje x.
Para una recta de la forma y = x; el valor de la función “y” cambiará
en la misma magnitud con la cual se avanza sobre el eje “x”; en este
caso la razón de cambio es positiva.
Para una recta de la forma y = - x; el valor de “y” cambia de forma
negativa al avanzar sobre el eje “x”.
Ahora la magnitud a la cual cambia unalínea recta esta dada por su
pendiente, si su pendiente es positiva el cambio es positivo y de igual
magnitud que su pendiente y si la pendiente es negativa la razón o
magnitud con la cual la función cambia es negativa.
Para las líneas rectas es sencillo determinar la razón de cambio de una
función, para funciones cuadráticas, cúbicas, trigonométricas,
exponenciales y logarítmicas serequieren ciertos procedimientos
especiales. Ejemplos: y = 10-30x y = 15x-10
Para complementar la explicación anterior se muestra un extracto del
libro “S. T. Tan. Matemáticas para Administración y Economía. 3ra
Edición. Thompson. ISBN:0-534-41976-3” que habla sobre este tema.

6.1 Reglas básicas de derivación
Como se habrá notado en el capítulo anterior, para calcular la derivada de una funcióny D f .x/
mediante la definición, usando la denominada regla de los cuatro pasos, generalmente es necesario
llevar a cabo un laborioso procedimiento algebraico.
Para evitar tal complejidad, se opta por el uso o la aplicación de resultados o reglas básicas generales
que nos permiten el cálculo de la derivada de diversas funciones de uso frecuente.
Dichas reglas se demuestran a partir de ladefinición de la derivada a veces con el uso de algún
artificio algebraico.
A continuación enunciamos las reglas básicas de derivación, seguida cada una de su respectiva demostración.
_ Regla 1. Si f .x/ D c, con c constante, entonces
f 0.x/ D
d
dx
f .x/ D
d
dx
c D 0 :
Reglas de derivación
Teoremas
Derivada de una constante por una función-------------------------------------------------
H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)
Demostración:
f'(a)
------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)x->a x - a x->a x - a
Nota:
* El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:
(kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.
*
Derivada de la suma
-------------------------------------------------
La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas decada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
    (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)
Demostración:
(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)...