La Personalidad

Índice

Introducción………………………………………………………………………………………..1

Desarrollo……………………………………………………………………………………………..2

Conclusión…………………………………………………………………………………………….3

Anexos………………………………………………………………………………………………….4

Bibliografía…………………………………………………………………………………………...5

Introducción
Como se explica en el artículodedicado a los espacios de productos interior, cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:

Decimos que H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en elespacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach (pero no viceversa).
Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio euclídeo con el producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar nociones desde los espacios de dimensión finita a los espaciosde Hilbert de dimensión infinita (por ejemplo los espacios de funciones). Sin embargo, los ejemplos infinito-dimensionales tienen muchos más usos. Estos usos incluyen:
* La teoría de las representaciones del grupo unitarias.
* La teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables.
* La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, en particular formulacionesdel problema de Dirichlet.
* Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de wavelets.
* Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.
El producto interior permite que uno adopte una visión "geométrica" y que utilice el lenguaje geométrico familiar de los espacios de dimensión finita. De todos los espacios vectoriales topológicos infinito-dimensionales, los espacios de Hilbertson los de "mejor comportamiento" y los más cercanos a los espacios finito-dimensionales.
Los elementos de un espacio de Hilbert abstracto a veces se llaman "vectores". En las aplicaciones, son típicamente sucesiones de números complejos o de funciones. En mecánica cuántica por ejemplo, un conjunto físico es descrito por un espacio complejo de Hilbert que contenga las "funciones de ondas" para losestados posibles del conjunto. Véase formulación matemática de la mecánica cuántica.
Una de las metas del análisis de Fourier es facilitar un método para escribir una función dada como la suma (posiblemente infinita) de múltiplos de funciones bajas dadas. Este problema se puede estudiar de manera abstracta en los espacios de Hilbert: cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cadaelemento del espacio de Hilbert se puede escribir en una manera única como suma de múltiplos de estos elementos bajos.
Los espacios de Hilbert fueron nombrados así por David Hilbert, que los estudió en el contexto de las ecuaciones integrales. El origen de la designación, aunque es confuso, fue utilizado ya por Hermann Weyl en su famoso libro la teoría de grupos y la mecánica cuántica publicado en1931. John von Neumann fue quizás el matemático que más claramente reconoció su importancia.

Espacio De Hilbert

En matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión dos y tres se extiendan a espacios de dimensión arbitraria,incluyendo a espacios de dimensión infinita. Ejemplos de tales nociones y técnicas son la de ángulo entre vectores,ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre vectores y convergencia de una sucesión. El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático David Hilbertquien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales.
Más formalmente, se...