La Place Matematicas

Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio popular para la educación y deporte
Instituto universitario de tecnológico de Cabimas
Cabimas edo. Zulia

Trabajo de matemáticas
“transformada de LAPLACE”

Bachiller:


1.- TRANSFORMADA DE LAPLACE.
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier,la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientesvariables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problemaalgebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
Definición de la Transformada
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integralconverge

Notas
1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
* Función de Orden Exponencial
Una función f(t) se dice de orden exponencial si acaso existe unaconstante positiva M y un número T que cumplan:
4.
Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo

* Continuidad a Pedazos
Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichassecciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos.

Tabla de las transformadas de Laplace más comunes
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cadatérmino.

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella u denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.
ID | Función | Dominio en el tiempo
| Dominio en la frecuencia
| Región de laconvergencia
para sistemas causales |
1 | retraso ideal | | | |
1a | impulso unitario | | | |
2 | enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia | | | |
2a | n-ésima potencia | | | |
2a.1 | q-ésima potencia | | | |
2a.2 | escalón unitario | | | |
2b | escalón unitario con retraso | | | |
2c | Rampa | | | |
2d | potencia n-ésima concambio de frecuencia | | | |
2d.1 | amortiguación exponencial | | | |
3 | convergencia exponencial | | | |
3b | exponencial doble | | | |
4 | seno | | | |
5 | coseno | | | |
5b | Seno con fase | | | |
6 | seno hiperbólico | | | |
7 | coseno hiperbólico | | | |
8 | onda senoidal con
amortiguamiento exponencial | | | |
9 | onda cosenoidal con...