La Place

Ecuación de Laplace. Introducción. Las ecuaciones elípticas se obtienen, en general, cuando se estudian procesos estacionarios. La ecuación de este tipo que aparece más frecuentemente es la ecuación de Laplace, cuya expresión general es: ∆u = 0 donde ∆ representa el operador Laplaciano. Por ejemplo, si se considera un campo térmico estacionario, puesto que, como la ecuación de conducción delcalor es ut = ∆u y, en este caso, la distribución de temperatura no varía con el tiempo, ésta satisface la ecuación de Laplace. Si se considera la presencia de fuentes de calor externas, se obtiene la ecuación ∆u = A donde A representa la densidad de las fuentes térmicas. La ecuación no homogénea de Laplace se suele llamar ecuación de Poisson. Otra clase de problemas en los que la ecuación de Laplacejuega un papel importante es el relacionado con los campos vectoriales que derivan de un potencial (electro-magnético, gravitatorio, etc.). En estos casos, si en la región donde se quiere obtener el potencial no hay fuentes de campo, éste verifica la ecuación de Laplace. Si por el contrario, existe una cierta densidad de éstas, el potencial verifica la correspondiente ecuación de Poisson. Así puésla ecuación de Laplace describe siempre procesos estacionarios en los que el tiempo no es una de las variables independientes. Esto significa, que el tipo de problemas que se considera para esta ecuación no va a incluir condiciones iniciales, lo que provocará que la estructura de las soluciones que encontraremos sea distinta a la que presentan las ecuaciones de ondas y difusión tratadas en losdos temas precedentes. Consideraremos solamente problemas definidos en un cierto dominio Ω con ciertas condiciones de contorno dadas sobre su frontera que podemos agrupar en tres clases: Condiciones de Dirichlet: El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un recinto, consiste en encontrar las soluciones que toman un valor prefijado en la frontera: u =f ∂Ω Condiciones de Neumann: Elproblema de Neumann para la ecuación de Laplace en un recinto, es el de encontrar las soluciones tales que su derivada según la normal exterior a la frontera toma un valor prefijado: ∂u =f ∂n ∂Ω

CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA Paseo de Manuel Lardizábal 13. 20018 Donostia-San Sebastián. Tel.: 943 219 877 Fax: 943 311 442 www.tecnun.esinformacion@tecnun.es

El problema de Robin para la ecuación de Laplace en un recinto, es de carácter mixto, pues consiste en encontrar las soluciones que en la frontera verifican: ∂u   = f, donde h ∈ R u + h ⋅  ∂n  ∂ Ω  En este capítulo nos centraremos, esencialmente, en los problemas de Dirichlet para las ecuaciones de Laplace y Poisson, aunque los métodos que se utilizarán para suresolución serán también válidos para otras ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que de nuevo el operador Laplaciano juega un papel importante, como son, por ejemplo la ecuación de Schrödinger: ih h2 ut = − ∆u + Vu 2•π 8π2m que es esencial en la descripción mecanocuántica de diferentes sistemas físicos y en la ecuación de Helmotz: ∆u + λ u = 0 que aparece al separar variables en laecuación de ondas y de difusión, cuando se consideran dominios bidimensionales. FUNCIONES ARMÓNICAS: PRINCIPIO DE ESTABILIDAD DEL PROBLEMA DE DIRICHLET. MAXIMO.UNICIDAD Y

Definición. Una función u se dice armónica en una región Ω si u ∈ C(2 )(Ω) y, además verifica: ∆u = 0 Empezamos este apartado enunciando una propiedad de las funciones armónicas que nos permitirá, posteriormente, establecer launicidad y estabilidad de la solución para el problema de Dirichlet: ∆u = 0 u =f ∂Ω Definición. Principio de máximo. Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que, además, es continua en Ω = Ω ∪ ∂Ω . Entonces, u alcanza su valor máximo en ∂Ω . Principio de mínimo. Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que además es continua en Ω = Ω ∪ ∂Ω ....