La Problematica Fractal

La problemática fractal
Resumen
En este artículo se quiere profundizar en la problemática del “objeto fractal”, desde un punto de vista cognitivo y con un interés didáctico. En particular interesa estudiar qué propiedades del fractal son perceptibles por los estudiantes universitarios y cómo lo “definen” teniendo tan sólo una experiencia de visualización. El estudio se realiza con 77 alumnosque tienen conocimientos previos de cálculo diferencial e integral. La metodología es cualitativa y se usan las redes sistémicas como herramienta de análisis de los datos cualitativos obtenidos. La mayoría de los estudiantes perciben al fractal en sus características de manera parcial y lo “definen” como un conjunto matemático que cumple ciertas propiedades. El conocimiento previo de cálculodiferencial e integral de los estudiantes no incide de una manera significativa y/o determinante en la mayoría de las respuestas de los estudiantes.

Introducción
El desarrollo de la teoría fractal de los últimos años muestra un cambio de actitud en los matemáticos. En el pasado fueron ignoradas aquellas funciones que no eran suficientemente regulares y con el cambio de actitud, ciertas curvasconsideradas “monstruos matemáticos” o funciones “patológicas”, encontraron su sitio natural y se convirtieron en merecedoras de estudio (Carrera, 1994; Falconer, 1990).
Se ha despertado un gran interés en los “objetos fractales” (Mandelbrot, 1984) y su geometría, no sólo en los matemáticos, sino también en filósofos, científicos y público en general. Son muchos los libros de divulgación ycientíficos dedicados a los fractales y, especialmente, variadas las publicaciones de carácter divulgativo sobre este concepto, de reciente data, novedoso e impactante por su vistosidad. Este interés también se ha manifestado en la Educación Matemática en muchos profesores que ven en los fractales una posibilidad para ofrecer una matemática distinta, más moderna y relacionada con la naturaleza. En EstadosUnidos y algunos países de Europa se ha comenzado a trabajar en esta dirección y se pueden encontrar artículos en revistas dedicadas a la Educación Matemática y en la web. Se han elaborado propuestas de innovación y experiencias para introducir al estudiante de educación media en el conocimiento de fractal y su geometría, sin embargo, aún son escasas las investigaciones rigurosas de tipocognitivo.
A modo de ejemplo, y sin el ánimo de hacer una reseña exhaustiva de antecedentes, podemos nombrar de habla española a Guzmán (1994), García y Otálora (1994), Domingo y Hernán (1994) quienes escriben sobre los fractales y su enseñanza. Fernández y Pacheco (1991), y Moreno (2002b), se interesan por el valor matemático de los fractales y la construcción de estos a través de la calculadoragráfica. En particular Moreno (2002a) presenta una propuesta metodológica para la enseñanza de la geometría a través de los fractales. Zapata (1996) propone la integración de la geometría fractal en la matemática aboga por la enseñanza de los fractales en secundaria. Redondo y Haro (2004) hacen un análisis de las posibilidades que ofrece la geometría fractal y sus aplicaciones, mediante una recopilacióny síntesis de los principales conceptos, de forma que sean asequibles a los alumnos de secundaria
De habla inglesa podemos reseñar a Naylor (1999) quien con base a 6 investigaciones describe actividades que introducen a los estudiantes en los fractales, alienta a estudiar las propiedades de algunos de los más conocidos, e invita a los alumnos a crear sus propios fractales. Choi y Shin (1998)estudian la posibilidad de introducirlos en el “High School”, introducen la autosimilitud, la dimensión fractal, algunos de los más conocidos, estiman el perímetro de perfiles rugosos dibujados en el papel, e introducen el juego del caos. Por otra parte Mandelbrot y Frame (2002) presentan un libro con una serie de ensayos que relaciona a estos objetos matemáticos con la Educación Matemática, y...