La proporción áurea

La transformada de Laplace
Introducción
Previo a comenzar a trabajar el tema central de este informe que trata de el método de Laplace para resolución de Ecuaciones Diferenciales , es que realizaré un repaso para recordar ideas y conceptos los cuales pueden no estar claros u olvidados.
Es por esta razón que comenzaremos respondiendo la siguiente pregunta. ¿Qué es una ecuación diferencial?,para responder la pregunta citaremos lo siguiente:
Se denomina ecuación diferencial a una relación entre una función (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la función1.

Pero ahora que sabemos que son las ecuaciones diferenciales, ¿cuál es la utilidad que tienen las ecuaciones dentro de nuestra sociedad?, para responder esta pregunta, basta tener encuenta la palabra “cambio” que está asociada a las derivadas. Con esto se tiene que dentro de nuestra sociedad, tenemos bastantes problemas en los cuales está incluida la razón de algún cambio, por ejemplo tenemos el movimiento de los planetas, la velocidad de las reacciones químicas y los patrones meteorológicos, etc. Como nos damos cuenta las ecuaciones diferenciales tienen una utilidad a nivelsocial importante, pero debemos saber y tener en cuenta que no toda la sociedad está preparada conceptualmente para entender, ni menos calcular una ecuación diferencial, es por esto que esta importancia de las ecuaciones tiene un enfoque científico más que social. (Ciertamente influye en la sociedad pero no como tal, sino más bien como una herramienta para el descubrimiento)

Otro aspectomatemático a conocer, previa a nuestra investigación, son las características que diferencian a las ecuaciones diferenciales. Estos aspectos que clasifican a las ecuaciones diferenciales son: tipo, orden y linealidad.
Para que nos quede bastante claro lo anterior, es que daremos una pequeña definición de cada una de las clasificaciones:
Clasificación por tipo: en este punto tenemos dos tipos deecuaciones diferenciales, las ordinarias y las paramétricas, la diferencia de estas es, la cantidad de variables independientes que tiene la ecuación.
Clasificación por orden: esta se basa en diferenciarlas, a través del grado de la derivada de orden mayor.
Clasificación por linealidad: una ecuación se dice que es lineal, cuando no aparece dentro de las ecuaciones compuestas de funciones continuasmezclando las variables y además que las derivadas de la ecuación se multipliquen por sí mismo en otras palabras, que la ecuación. (La variable dependiente y todas sus derivadas sean de primer grado, y que cada coeficiente sólo depende de la variable independiente.)

Para continuar con nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales es que nos centraremos en las soluciones de estas mismas, paraesto nos basaremos en la siguiente cita:
Una solución de una ecuación diferencial ordinaria, es una función con al menos derivadas y además cumple:


Se dice que satisface la ecuación diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto, cerrado o semi-cerrado. 2

Dentro de las ecuaciones diferenciales podemos descubrir diferentes tipos de soluciones para nuestra ecuación. En estemomento es donde explicaremos cuales son al menos dos de los tipos de soluciones. Estas son las soluciones particulares y las soluciones generales.
Se llaman soluciones particulares a las que no tienen parámetros arbitrarios

Si toda solución de una ecuación de orden , en un intervalo I, se puede obtener partiendo de una familia n-paramétricas con valores adecuados de los parámetros se diceque la familia es lasolución general de la ecuación diferencial.3

Ahora para finalizar nuestro “repaso” de ecuaciones diferenciales, estudiaremos un par de teoremas, los cuales dentro de nuestras ecuaciones son de vital importancia, a raíz de las siguientes preguntas. Si estamos trabajando con ecuaciones, ¿qué me asegura que nuestra ecuación tenga solución? Y si tenemos solución, ¿es única?...