la raíz cuadrada en números complejos
\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = i\sqrt{x}
esdecir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i^2 = -1\,\!, por lo que entonces:
\left(i\sqrt{x}\right)^2 =
i^2\sqrt{x}^2 =
(-1)x =-x
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera
\sqrt{\pm ix} =
\sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}
Por los argumentosdados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir \sqrt zpara ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejodiferente a cero z existen exacto dos números W tales que w^2 = Z\,\!. Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:
\sqrt{i} =
\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
y
- \sqrt{i} =
-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
La definición general de \sqrt z está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:...
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