la raiz cuadrada

En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otro número que elevado al cuadrado es igual al primero, con esta definición cada número complejo admite exactamente dos raíces cuadradas (estas son iguales en módulo). A veces se abrevia como raíz, siendo su símbolo: \sqrt{\ }. Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente ½. Elconcepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten sólo dos raíces cuadradas.

Índice [ocultar]
1 Historia
2 Función raíz cuadrada
2.1 Propiedadesgenerales
2.2 Irracionalidad de las raíces cuadradas
2.3 Radicales jerarquizados cuadrados
2.4 Fracciones continuas
2.5 Aproximaciones enteras
3 Extensión de la función raíz cuadrada
3.1 La raíz cuadrada en los números complejos
3.2 Raíces cuadradas en los cuaterniones
3.3 Raíz cuadrada de matrices
4 Cálculo de raíces cuadradas
4.1 Algoritmo
4.2 Utilizando logaritmos
4.3 Algoritmos paramáquinas
5 Construcción geométrica de la raíz cuadrada
5.1 Pasos a seguir para la construcción geométrica
5.2 Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB
6 Raíces cuadradas útiles
6.1 Raíz cuadrada de 2
6.2 Raíz cuadrada de 3
6.3 Raíz cuadrada de 5
7 Véase también
8 Referencias
8.1 Notas
8.2 Bibliografía
8.3 Enlaces externos
Historia[editar · editar código]

Las raícescuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.1 En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo comolos Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.2 Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculosmediante la media aritmética,

\sqrt{a} = \sqrt{a \frac{a_0}{a_0}} \approx \frac{1}{2} \left ( a_0 + \frac{a}{a_0} \right ) . 3
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno,lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). Ladiagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientasmatemáticas más elementales hoy en día.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".4
Según Julio Rey Pastor y José Babini, Catald calcula en 1613 raíz cuadrada aproximando por...