La raiz cuadrada
Páginas: 3 (566 palabras)
Publicado: 4 de junio de 2014
NOMBRE: LIZBETH SALGUERO
CURSO: 2º ING. EN FINANZAS Y AUDITORIA
Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2
Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabeque raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posiblesde este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menoscomún, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:
Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por Reducción al Absurdo
La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabaráen algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:
Podemos suponer sin ningún problema que el máximo comúndivisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:
Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplode 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:
Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tantotambién lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 comofactor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.
Conclusión: Raíz de 2 es irracional.
Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por DescensoInfinito
El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 es un número racional, es decir:
Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a...
CURSO: 2º ING. EN FINANZAS Y AUDITORIA
Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2
Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabeque raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posiblesde este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menoscomún, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:
Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por Reducción al Absurdo
La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabaráen algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:
Podemos suponer sin ningún problema que el máximo comúndivisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:
Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplode 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:
Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tantotambién lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 comofactor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.
Conclusión: Raíz de 2 es irracional.
Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por DescensoInfinito
El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 es un número racional, es decir:
Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a...
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